UA OPTI570 量子力學3 單個自由粒子的薛定諤方程

• • 自由粒子的薛定諤方程
  • 波包
  • Heisenberg Uncertainty Relation
  • 相速度與群速度

自由粒子的薛定諤方程

經過上一講的敘述，想必大家已經接受了波函數的概念，波函數于量子力學就相當于速度、位移于經典力學，所以如何求出粒子的波函數是一個很重要的話題。上一講提到波函數的形式由Schroedinger方程給出：$$i?\frac{?}{?t}\psi (\text{r},t)=?\frac{{?}^2}{2m}\Delta \psi (\text{r},t)+V(\text{r},t)\psi (\text{r},t)$$其中$\Delta$是Laplace算子，$\Delta =???$，$m$代表粒子的質量，$V(\text{r},t)$代表它的potential。薛定諤方程乍一看還是有點復雜的，所以我們先從最簡單的情況著手，討論薛定諤方程與波函數的形式。

考慮一個沒有勢能的自由粒子，也就是$?\text{r},t$, $V(\text{r},t)=0$，此時薛定諤方程為
$$i?\frac{?}{?t}\psi (\text{r},t)=?\frac{{?}^2}{2m}\Delta \psi (\text{r},t)$$

這就是我們在電磁理論中經常處理的波動方程，它的解具有下面這種形式：
$$\psi (\text{r},t)=A{e}^{i(\text{k}?\text{r}?wt)}$$

其中$A$是常數，$\text{k}$是波向量，$w$是波的角頻率，它們滿足
$$w=\frac{?|\text{k}{|}^2}{2m}$$

代入動量與波向量的de Broglie Relation
$$\text{p}=?\text{k}$$

可以得到動量與角頻率之間滿足
$$w=\frac{|\text{p}{|}^2}{2m?}$$

代入能量與角頻率的de Broglie Relation
$$E=?w=\frac{|\text{p}{|}^2}{2m}$$

這說明即使是在量子力學（在這個最簡單的例子）中，動量與能量之間的經典關系依然成立。根據波函數的表達式可以得到粒子的概率分布表達式：
$$d\mathcal{P}(\text{r},t)\propto |\psi (\text{r},t){|}^2=|A{|}^2$$

也就是說粒子的probability of presence是均勻的。

波包

物質波也滿足疊加原理，用波向量區分不同物質波，它們疊加后的結果可以表示為
$$\psi (\text{r},t)=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}\int g(\text{k})e^{i(\text{k}?\text{r}?w(\text{k})t)}{d}^3\text{k}$$

假設$g(\text{k})$在波向量空間內可微，稱這個波函數是一個三維波包（wave packet）,上述自由粒子的薛定諤方程的任意$L^2$空間中的解都可以寫成這個形式。為了簡化問題，下面我們研究“一維”波包：
$$\psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{?\infty }^{+\infty }g(k)e^{i(kx?w(k)t)}dk$$

假設粒子的初始波函數為$\psi (x,0)$，根據定義知
$$\psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{?\infty }^{+\infty }g(k)e^{ikx}dk$$

這說明$g(k)$是$\psi (x,0)$的Fourier變換：
$$g(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int \psi (x,0)e^{?ikx}dx$$

因此一維波包表達式中的$g(k)$實際上反映了波包的初始形狀。

假設$|g(k)|$的形狀如上圖所示，是一個單峰函數，峰值在$k_0$處取得，帶寬（取最大值的一半對應的兩個橫坐標之差）為$\Delta k$，我們取$k_0,k_0\pm \frac{\Delta k}{2}$作為三個特殊位置代表這個單峰函數的特征，假設需要做疊加的波向量就是這三個，那么
$$\begin{gathered} \psi (x,0)=\frac{g(k_0)}{\sqrt{2\pi }}\left[e^{i{k}_{0}x}+\frac{1}{2}{e}^{i(k_0?\frac{\Delta k}{2})x}+\frac{1}{2}{e}^{i(k_0+\frac{\Delta k}{2})x}\right] \\ =\frac{g(k_0)}{\sqrt{2\pi }}{e}^{i{k}_{0}x}\left[1+\cos (\frac{\Delta k}{2}x)\right] \end{gathered}$$

上圖前三個圖像分別代表三種波向量對應的物質波波形，第四個圖像代表這三種物質波疊加后的干涉波形，其中
$$\Delta x=\frac{4\pi }{\Delta k}$$

$\Delta x$越大，波包就越容易觀測到，這就需要$\Delta k$盡量小一點。

Heisenberg Uncertainty Relation

上面的關系式具有很重要的物理意義，但是因為波向量不是很好直觀理解，所以我們使用波向量與動量的de Broglie Relation轉換一下：
$$p=?k?\Delta k=\frac{\Delta p}{?}$$

于是
$$\Delta x?\Delta p=4\pi ?$$

這個式子說明想要精確測量物質粒子的運動狀態是不可能的，如果想要精確測量位置（$\Delta x$盡可能小），那么就無法精確測量動量了；而如果想精確測量動量（$\Delta p$盡可能小），那么位置就無法精確測量了，這個現象被總結為海森堡測不準原理，$\Delta x?\Delta p$大約等于和$?$同尺度的常數這個關系被稱為Heisenberg Uncertainty Relation。實際上關于這個原理在Cohen-Tannoudji的量子力學25-28頁有更詳細的說明，但我覺得只用這個簡單例子就能把概念說清楚了，所以那幾頁沒有總結進來，需要的同學可以閱讀原文。

最后還需要說明一下$\Delta p$的物理意義，畢竟$\Delta x$表示波包兩個零點之間的距離，$\Delta k$是$|g(k)|$的帶寬，它們都是有物理意義的。這就需要回到波函數本身，我們在定義波函數的時候給定的自變量是時空$(\text{r},t)$，但實際上波函數也可以在Momentum space中定義，即$\bar{\psi }(\text{p},t)$，以一維波函數初始條件$\psi (x,0)$為例，它與$\bar{\psi }(p)$之間滿足：
$$\psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi ?}}\int \bar{\psi }(p)e^{ipx/?}dp$$

也就是說$\bar{\psi }(p)$是$\psi (x,0)$的Fourier變換。而前文也提到$g(k)$也是$\psi (x,0)$的Fourier變換，它們的區別僅僅在于$\bar{\psi }(p)$的變換核為$e^{?ipx/?}$而$g(k)$的變換核為$e^{?ikx}$，這兩個變換核的差異正好是由de Broglie關系決定的。因此$\Delta p$與$\Delta k$的含義完全類似，它表示動量空間中初始波函數的帶寬，也即是$\bar{\psi }(p)$的帶寬。

相速度與群速度

最后我們再討論一下單列的一維波函數
$$\psi (x,t)=A{e}^{i(kx?wt)}$$

它沿$x$軸轉播的速度為
$$V_{?}(k)=\frac{w}{k}$$

把這個速度代入一維波函數中
$$\psi (x,t)=A{e}^{ik(x?V_{?}(k)t)}$$

可以看出它總是以$x?V_{?}(k)t$的形式影響波函數的相位，因此這個速度通常被成為相速度（phase velocity）。在真空中，上述定義沒有什么問題，畢竟不存在影響物質波傳播的因素，但是在介質中，我們需要代入角頻率與波數的關系修正一下相速度的式子：
$$V_{?}(k)=\frac{\frac{?|\text{k}{|}^2}{2m}}{k}=\frac{?k}{2m}$$

也就是說在介質中傳播時，因為不同物質波的相速度不同，疊加形成的波包在傳播中形狀會發生變換。

我們可以分析波包的最大值點的運動簡單說明一下這個現象。沿用上面討論波包時的例子，但是這一次需要讓$w$也隨$k$變化（單峰，峰值在$w_0$處），并定義$\Delta w$作為$w(k)$的帶寬，選擇三個特征點$(k_0,w_0),(k_0?\frac{\Delta k}{2},w_0?\frac{\Delta w}{2}),(k_0+\frac{\Delta k}{2},w_0+\frac{\Delta w}{2})$：
$$\begin{gathered} \psi (x,t)=\frac{g(k_0)}{\sqrt{2\pi }}\left[e^{i(k_{0}x?w_{0}t)}+\frac{1}{2}{e}^{i[(k_0?\frac{\Delta k}{2})x?(w_0?\frac{\Delta w}{2})t]}+\frac{1}{2}{e}^{i[(k_0+\frac{\Delta k}{2})x?(w_0+\frac{\Delta w}{2})t]}\right] \\ =\frac{g(k_0)}{\sqrt{2\pi }}{e}^{i(k_{0}x?w_{0}t)}\left[1+\cos (\frac{\Delta k}{2}x?\frac{\Delta w}{2}t)\right] \end{gathered}$$
由此可見最大值點的位置滿足
$$x(t)M=\frac{\Delta w}{\Delta k}t$$

它的速度為$\frac{\Delta w}{\Delta k}$（在連續的情況下可以寫成$\frac{dw}{dk}{|}_{k=k_0}$），而不是之前定義的相速度，稱這個速度為群速度（group velocity），因為它體現的是以波包的最大值為基準的波包整體的運動速度。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学3 单个自由粒子的薛定谔方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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