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UA OPTI570 量子力学4 带不含时的标量势的粒子的薛定谔方程

發(fā)布時間：2025/4/14 36 豆豆

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UA OPTI570 量子力學(xué)4 帶不含時的標量勢的粒子的薛定諤方程

- 分離變量法
- 穩(wěn)定態(tài)

之前提到波函數(shù)的形式由Schroedinger方程給出： $i???tψ(r,t)=??22mΔψ(r,t)+V(r,t)ψ(r,t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi(\textbf r,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi(\textbf r,t)+V(\textbf r,t)\psi(\textbf r,t)$

上一講討論了 $V(r,t)=0V(\textbf r,t)=0$ 的薛定諤方程，這一講稍微增加一點條件，假設(shè)有勢能，但勢能不隨時間變化，即 $V(r,t)=V(r)V(\textbf r,t)=V(\textbf r)$

分離變量法

討論Schroedinger方程
$i???tψ(r,t)=??22mΔψ(r,t)+V(r)ψ(r,t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi(\textbf r,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi(\textbf r,t)+V(\textbf r)\psi(\textbf r,t)$

用分離變量法，假設(shè) $ψ(r,t)=?(r)χ(t)\psi(\textbf r,t)=\phi(\textbf r)\chi(t)$ ，代入薛定諤方程可得
$i??(r)ddtχ(t)=??22mχ(t)Δ?(r)+V(r)?(r)χ(t)i\hbar \phi(\textbf r) \frac{d }{d t}\chi(t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\chi(t)\Delta \phi(\textbf r)+V(\textbf r)\phi(\textbf r)\chi(t)$

方程兩邊同時除以 $?(r)χ(t)\phi(\textbf r)\chi(t)$ ,
$i?χ(t)ddtχ(t)=1?(r)(??22mΔ?(r))+V(r)\frac{i\hbar}{\chi(t)}\frac{d }{d t}\chi(t) = \frac{1}{\phi(\textbf r)} \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \phi(\textbf r) \right)+V(\textbf r)$

這樣就把時間放在了左邊，空間分在了右邊，這個等式要成立除非左右都等于常數(shù)。一個可能的例子是這個常數(shù)為 $?w\hbar w$ ，那么左邊部分就是
$i?χ(t)ddtχ(t)=?w\frac{i\hbar}{\chi(t)}\frac{d }{d t}\chi(t) =\hbar w$

它的解可以表示為
$χ(t)=Ae?iwt\chi(t)=Ae^{-iw t}$

而右邊部分是
$1?(r)(??22mΔ?(r))+V(r)=?w\frac{1}{\phi(\textbf r)} \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \phi(\textbf r) \right)+V(\textbf r)=\hbar w$

這也是一個很常見的波動方程。所以波函數(shù)的一個特解可以是
$ψ(r,t)=?(r)e?iwt\psi(\textbf r,t)=\phi(\textbf r)e^{-iwt}$

這個形式的波函數(shù)被稱為薛定諤方程的stationary solution，因為這個形式的解與電磁理論中的time-harmonic field的形式類似，模與時間是無關(guān)的，而波函數(shù)的模決定了粒子的概率分布，所以stationary solution實際含義是粒子在空間中分布的概率與時間無關(guān)。

回想一下Planck-Einstein Relations：
$\hbar w$

代入到上面的波動方程中：
$[??22mΔ+V(r)]?(r)=E?(r)\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +V(\textbf r) \right]\phi(\textbf r)=E\phi(\textbf r)$

定義Hamiltonian為
$H=??22mΔ+V(r)H=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +V(\textbf r)$

這是一個非常重要的線性算子，后續(xù)會詳細介紹它的性質(zhì)，但把它代入到波動方程中：
$H?(r)=E?(r)H\phi(\textbf r)=E\phi(\textbf r)$

這是一個非常有趣的式子，如果把 $?(r)\phi(\textbf r)$ 看成向量，把 $H$ 看成矩陣，那么 $E$ 就是 $H$ 的一個特征值， $?(r)\phi(\textbf r)$ 是與之對應(yīng)的特征向量；而實際上 $H$ 是線性算子， $?\phi$ 是表示物質(zhì)粒子狀態(tài)的（平方可積的）波函數(shù)，我們可以把 $?(r)\phi(\textbf r)$ 理解為 $L^2$ 空間中的元素，而 $L^2$ 空間是向量空間，所以實際上 $E$ 也確實可以看成線性算子 $H$ 的特征值。但是現(xiàn)階段在解這類薛定諤方程的時候，標準方法還是找到 $V(r)V(\textbf r)$ 的表達式，代入

穩(wěn)定態(tài)

假設(shè) ${E_n\}$ 表示 $H$ 的特征值，那么對每一個 $E_n$ 都存在特征向量 $?n(r)\phi_n(\textbf r)$ 與之對應(yīng)：
$H?n(r)=E?n(r)H\phi_n(\textbf r) = E\phi_n(\textbf r)$

稱這些波函數(shù) ${?n}\{\phi_n\}$ 代表的狀態(tài)為穩(wěn)定態(tài)(stationary state)，稱 ${E_n\}$ 為這些穩(wěn)定態(tài)對應(yīng)的能階，而根據(jù)Planck-Einstein Relations，每一個穩(wěn)定態(tài)對應(yīng)的波函數(shù)也可以寫出來：
$ψn(r,t)=?n(r)e?iEn?t\psi_n(\textbf r,t)=\phi_n(\textbf r)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}$

而所有穩(wěn)定態(tài)對應(yīng)波函數(shù)的線性組合就是薛定諤方程的通解：
$ψ(r,t)=∑ncn?n(r)e?iEn?t\psi(\textbf r,t)=\sum_n c_n\phi_n(\textbf r)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学4 带不含时的标量势的粒子的薛定谔方程的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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