UA OPTI512R 傅立葉光學導論5 光學常用基本函數回顧

• • • Step Function
    • Sign Function
    • Ramp Function
    • Rectangular Function
    • Triangular Function
    • Sinc Function
    • Gaussian Function
    • Impulse Function（Dirac Delta Function）

這一篇簡單回顧一下光學中常用的特殊函數，方便以后查閱相關性質。下列函數不連續點的取值1/2可以替換為0或者1，對函數本身性質無影響。

Step Function

定義step function為
$$step(x)=?\begin{array}{l}0,x<0\\ 1/2,x=0\\ 1,x>0\end{array}$$

step function的作用是選出某個區間內波形，比如要選出$\cos (2\pi x)$在$(0,+\infty )$上的波形，就可以直接用$\cos (2\pi x)step(x)$。下面是step function的兩個重要性質：

step function在原點處不連續：$$\underset{x\to 0?}{\lim }step(x)=0=\underset{x\to 0+}{\lim }step(x)=1$$

$step(x?a)$表示選出$(a,+\infty )$的波形，$step(a?x)$表示選出$(?\infty ,a)$的波形，不同step function的乘積表示選出它們各自對應區間交集的波形

Sign Function

定義sign function為
$$sign(x)=?\begin{array}{l}?1,x<0\\ 0,x=0\\ 1,x>0\end{array}$$

它與step function可以互相轉化：
$$step(x)=\frac{1+sign(x)}{2}$$

Ramp Function

定義Ramp function為
$$ramp(x)=\{\begin{array}{l}0,x<0\\ x,x\ge 0\end{array}$$

這個函數也可以用step function構造出來：
$$ramp(x)=x?step(x)={\int }_{?\infty }^{x}step(z)dz$$

Rectangular Function

定義rectangular function為
$$rect(x)=?\begin{array}{l}0,|x|>1/2\\ 1/2,|x|=1/2\\ 1,|x|<1/2\end{array}$$

這個函數同樣可以用step function構造：
$$rect(x)=step(x+1/2)?step(x?1/2)$$

所以感覺step function真的是很基本的一個函數了。

Triangular Function

定義triangular function為
$$tri(x)=?\begin{array}{l}0,|x|>1\\ x+1,?1\le x\le 0\\ 1?x,0\le x\le 1\end{array}$$

這個函數可以用ramp function構造：
$$tri(x)=ramp(x+1)step(?x)+ramp(?x+1)step(x)$$

Sinc Function

Sinc函數的定義是
$$sinc(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$$

這個函數會使$\sin (\pi x)$波形隨$x$絕對值變大逐漸衰減，另外，
$$\underset{x\to 0}{\lim }sinc(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=1$$

我們還可以計算一下sinc function的積分：
$${\int }_{?\infty }^{+\infty }sinc(x)=1$$

emm因為$\int \sin (t)tdt$是一個特殊積分，記為$Si(x)$，是三角函數積分中的正弦積分，感興趣的話可以查一下它的性質。

Gaussian Function

Gaussian Function的定義是
$$Gaus(x)=e^{?\pi x^2}$$

對正態分布比較了解的同學會很清楚這個函數的性質，但傅里葉光學中不會經常用到這個。

Impulse Function（Dirac Delta Function）

簡單理解，impulse function就是在$x=0$處對系統施加一個脈沖，也就是$\delta (0)=\infty$，$\delta (x)=0,x=0$，但顯然這個定義并不嚴謹，我們可以借助其他函數來定義impulse function:
$$\delta (x)=\underset{b\to 0}{\lim }\frac{1}{|b|}sinc(\frac{x}{b})$$

作為傅里葉光學最重要的函數之一，impulse function最重要的性質是sifting：

$${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)\delta (x?x_0)dx=f(x_0)1_{[x_1,x_2]}(x_0)$$

需要注意的是${\int }_{?\infty }^{+\infty }\delta (x)dx=1$是無量綱的，所以如果$dx$的量綱是長度，那么$\delta (x)$的量綱就是1/長度。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI512R 傅立叶光学导论5 光学常用基本函数回顾的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。