UA OPTI512R 傅立葉光學導論3 用復變函數表示物理量

這一篇就當番外吧，畢竟物理中確實有很多時候會用復數來表示物理量，比如time-harmonic electric field
$$\text{E}={\text{E}}_0{e}^{i(\text{k}?\text{r}?wt)}$$

明明只用實部就可以表示這個電場，虛部看起來也沒物理意義，但為什么要用復變函數表示呢？

---

考慮函數
$$v(x)=A\cos (2\pi {\xi }_{0}x+?({\xi }_0))$$

其中$A$是振幅（amplitude），${\xi }_0$是頻率（spatial frequency），$?({\xi }_0)$是初始相位（initial phase）。它可以表示為
$$v(x)=Re[A{e}^{j?({\xi }_0)}{e}^{j2\pi {\xi }_{0}x}]$$

其中$j$代表虛數單位$j^2=?1$，將$A{e}^{j?({\xi }_0)}$視為整體，稱其為復振幅（complex amplitude），記為${\tilde{u}}^{?}$（這里的*表示共軛），則
$$v(x)=Re[{\tilde{u}}^{?}{e}^{j2\pi {\xi }_{0}x}]$$

例
$$\begin{gathered} v_1(x)=A_1\cos (2\pi {\xi }_{0}x) \\ {v}_2(x)=A_2\cos (2\pi {\xi }_{0}x+?) \end{gathered}$$

它們的復數表示為
$$\begin{gathered} v_1(x)=Re[A_1{e}^{j0}{e}^{j2\pi {\xi }_{0}x}]=Re[{\tilde{u}}_1^{?}{e}^{j2\pi {\xi }_{0}x}] \\ {v}_2(x)=Re[A_2{e}^{j?}{e}^{j2\pi {\xi }_{0}x}]=Re[{\tilde{u}}_2^{?}{e}^{j2\pi {\xi }_{0}x}] \end{gathered}$$

這樣表示的好處是算乘法和乘冪會很容易，但一般大家的認知是加法用復數表示反而沒有那么方便，我們來嘗試一下
$$\begin{gathered} v_1(x)+v_2(x)=A_1\cos (2\pi {\xi }_{0}x)+A_2\cos (2\pi {\xi }_{0}x+?) \\ =A_1\cos (2\pi {\xi }_{0}x)+A_2\cos (2\pi {\xi }_{0}x)\cos (?)?A_2\sin (2\pi {\xi }_{0}x)\sin (?) \\ =?A_2\sin (?)\sin (2\pi {\xi }_{0}x)+[A_1+A_2\cos (?)]\cos (2\pi {\xi }_{0}x) \\ =\sqrt{[A_2\sin (?){]}^2+[A_1+A_2\cos (?){]}^2}\cos (2\pi {\xi }_{0}x?\arctan \frac{?A_2\sin (?)}{A_1+A_2\cos (?)}) \end{gathered}$$

如果用復數形式計算那就是
$$v_1(x)+v_2(x)=Re[{\tilde{u}}_1^{?}{e}^{j2\pi {\xi }_{0}x}+{\tilde{u}}_2^{?}{e}^{j2\pi {\xi }_{0}x}]$$

實際上要計算的是
$$\begin{gathered} {\tilde{u}}_1^{?}+{\tilde{u}}_2^{?}=A_1+A_2{e}^{j?}=A_1+A_2\cos (?)+j{A}_2\sin (?) \\ =\sqrt{[A_2\sin (?){]}^2+[A_1+A_2\cos (?){]}^2}{e}^{j\arctan \frac{?A_2\sin (?)}{A_1+A_2\cos (?)}}={\tilde{u}}^{?} \end{gathered}$$

可以發現同頻的兩個物理量相加用代數形式或者用指數形式關鍵參數（初始相位和幅度）計算是完全一致的，不存在用哪種形式簡單或者復雜的說法。

---

回到一開始的問題，為什么要用復數/復變函數表示物理量呢？我問了我學校好幾個教授，他們都說就是為了計算方便讓我不要多想，甚至Fulvio Melia還說“雖然大部分文獻用實部表示但如果愿意的話你做筆記寫論文也可以用虛部來表示”。。。總之就很無語，還以為會有什么一百年前物理學家引入復數表示之后從此公式推導變得異常簡潔之類的驚天地泣鬼神的故事。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI512R 傅立叶光学导论3 用复变函数表示物理量的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。