立體角：定義與公式

• • 立體角的概念
  • 立體角的公式

立體角（solid angle）這個概念很明顯就是平面角向三維的推廣，在我長達二十年的學習生涯中我覺得我應該沒有正式接觸過這個概念，所以上學期在關于輻射的一個公式里看到才會覺得很懵，這一篇就簡單總結一下我現在對立體角的認識吧。

立體角的概念

既然立體角是平面角向三維的推廣，那么我們先回顧一下平面角的定義。在高一數學必修一以前，我們對角的認識應該還停留在兩邊夾一尖兒，用量角器能量角的大小的階段，用量角器量出來的角單位是度。高一數學必修一對平面角的定義是單位圓上對應的一段弧長，以此為基礎定義了三角函數，下面的圖是維基百科上的：

這種定義可以簡單記為，
$$\theta =某個圓上對應的弧長/這個的圓的半徑$$

它的單位用$rad$表示，因為弧長與半徑的量綱都是長度，所以平面角是一個無量綱的量。小學數學介紹的理解二維到三維最簡單的方法就是把這張圓繞著它的某條直徑旋轉一周，掃過的部分就變成了一個三維的球，而這段弧就變成了球上的一個區域，圓的半徑掃過的部分變成了圓，根據這個思想，平面角推廣到立體角就很順理成章了，用$\Omega$表示立體角，那么
$$\Omega =某個球面上對應的一塊面積/球半徑的平方$$

立體角的單位是球面度，記為$sr$，是單詞steradian，因為面積除以半徑的平方后單位約掉了，所以球面度也是一個無量綱的量，它就是角度$rad$的推廣。

下面這張圖也是維基百科上的，我們可以借此理解一下球面度的含義。假設我們站在半徑為$r$的球的球心觀察，不轉動脖子可以看到球面上面積為$r^2$的范圍，那么我們的視野范圍就可以用球面度$\frac{r^2}{r^2}=1sr$來衡量；然后再把自己想象成一只貓頭鷹，只要動一動脖子就能看清整個球面，那么我們現在的視野范圍就是$\frac{4\pi r^2}{r^2}=4\pi sr$。

立體角的公式

按照立體角的定義，球坐標系中的立體角公式是最好求的。球坐標系中的面積微元是
$$dA=(r\sin \theta d?)(rd\theta )=r^2\sin \theta d\theta d?$$

所以
$$d\Omega =\frac{dA}{r^2}=\sin \theta d\theta d?$$

當對應面積為$S$時，立體角等于
$$\Omega ={?}_{S}d\Omega ={?}_S\sin \theta d\theta d?$$

下圖也是維基百科的：

在一般情況下，我們需要根據立體角的定義式進行計算：
$$d\Omega =\frac{dA}{r^2}$$

這里的$A$是在球面上的投影面積。

例 畢奧-薩伐爾定理可以寫成
$$\text{B}=\frac{I}{c}?\Omega$$

證 加‘的${\text{x}}^{\prime }$代表磁場的源（比如小型環形電流）的位置，不加的$\text{x}$代表觀察者的位置，加粗的量代表向量，畢奧-薩伐爾定理是
$$\text{B}=\frac{I}{c}{\oint }_C\frac{d{\text{l}}^{\prime }\times (\text{x}?{\text{x}}^{\prime })}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }{|}^3}$$

所以我們只需要計算$?\Omega$并把它與曲線積分比較即可。

根據定義
$$d\Omega =\frac{dA}{r^2}$$

這里$r$代表磁場的源與觀察者之間的距離，
$$r^2=|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }{|}^2$$

而$dA$代表（觀察者向磁場的源的方向看過去的視野范圍）在contour $C$圍成的曲面上的投影面積，這個曲面的外法向為$\hat{n}$，因此
$$d\Omega =\frac{1}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }{|}^2}\frac{\hat{n}?(\text{x}?{\text{x}}^{\prime })}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}dS$$

所以
$$\Omega =?{\int }_{S(C)}\frac{\hat{n}?(\text{x}?{\text{x}}^{\prime })}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }{|}^3}dS$$

$S(C)$是強調這是contour $C$圍成的曲面，$?$是因為$\hat{n}$取的外法線。現在我們考慮一下$\hat{n}dS$，這是contour $C$圍成的曲面，而$C$承載的是磁場的源，也就是電流，用${\text{l}}^{\prime }$表示電流方向，也就是$C$的方向，
$$\Omega =?{\oint }_C\frac{?(d\text{x}\times d{\text{l}}^{\prime })?(\text{x}?{\text{x}}^{\prime })}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }{|}^3}$$

根據引理1（放在最后證明），
$$\Omega =d\text{x}?{\oint }_C\frac{d{\text{l}}^{\prime }\times (\text{x}?{\text{x}}^{\prime })}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }{|}^3}$$

因此
$$?\Omega ={\oint }_C\frac{d{\text{l}}^{\prime }\times (\text{x}?{\text{x}}^{\prime })}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }{|}^3}$$

證畢。

引理1
$$d\text{x}\times d{\text{l}}^{\prime }?(\text{x}?{\text{x}}^{\prime })=[d{\text{l}}^{\prime }\times (\text{x}?{\text{x}}^{\prime })]?\text{x}$$

引入Eddington張量${?}_{ijk}$，用Einstein求和約定改寫左邊的式子：
$$\begin{gathered} d\text{x}\times d{\text{l}}^{\prime }?(\text{x}?{\text{x}}^{\prime })=({?}_{ijk}d{x}_{j}d{l}_j^{\prime })(x_i?x_i^{\prime }) \\ =?{?}_{ijk}d{l}_j^{\prime }(x_i?x_i^{\prime })d{x}_j \\ ={?}_{jki}d{l}_j^{\prime }(x_i?x_i^{\prime })d{x}_j \\ =[d{\text{l}}^{\prime }\times (\text{x}?{\text{x}}^{\prime })]?\text{x} \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的立体角：定义与公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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