UA OPTI570 量子力學6 單個粒子的波函數空間

• • 波函數空間
  • • 波函數空間是線性空間
    • 波函數的內積
    • 波函數的線性算子
  • 波函數空間的離散基
  • • 波函數的標準正交基
    • Closure Relation
  • 波函數空間的連續基

前面的內容基本讓我們從物理上接受了波函數這個概念，那么從這一講開始我們要試圖讓波函數在數學上也成為一個比較嚴謹的工具。

波函數空間

在討論單個粒子的薛定諤方程時，我們介紹了波函數$\psi (\text{r})$的物理意義是$|\psi (\text{r}){|}^2$表示這個粒子出現在$\text{r}$處的概率，因此波函數收到概率歸一性的約束，即在空間每個位置出現的概率之和為1：
$$\int |\psi (\text{r}){|}^2{d}^3\text{r}=1$$

根據這個性質，我們很容易就能聯想到數學中的平方可積函數這個概念，也就是在給定集合上平方后的積分有限的這類函數。這類函數組成的集合為$L^2$，但作為物理學人，我們肯定是不想用這么規范的數學符號的，更何況$L^2$代表的函數可比波函數更廣，于是我們就定義$\mathcal{F}$作為所有可能的單個粒子的波函數的集合，當然$\mathcal{F}$應該是$L^2$的子集。

波函數空間是線性空間

因為$L^2$是線性空間，要說明波函數空間$\mathcal{F}$也是線性空間，只需要說明$\mathcal{F}$是$L^2$的線性子空間即可，即說明$?{\psi }_1,{\psi }_2\in \mathcal{F}$
$$\psi ={\lambda }_1{\psi }_1+{\lambda }_2{\psi }_2\in \mathcal{F},?{\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{C}$$

根據波函數的疊加原理，$\psi$在物理上是個波函數，要從數學上說明$\psi \in \mathcal{F}$，需要證明$\psi$平方可積，
$$|\psi {|}^2=|{\lambda }_1{|}^2|{\psi }_1{|}^2+|{\lambda }_2{|}^2|{\psi }_2{|}^2+{\lambda }_1^{?}{\lambda }_2{\psi }_1^{?}{\psi }_2+{\lambda }_1{\lambda }_2^{?}{\psi }_1{\psi }_2^{?}$$

前兩項是可積的，而后兩項的模的上界為
$$|{\lambda }_1||{\lambda }_2|(|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2)$$

這也是可積的，綜上$\psi \in \mathcal{F}$。

波函數的內積

$??,\psi \in \mathcal{F}$，定義它們的內積為
$$(?,\psi )=\int {\psi }^{?}(\text{r})\psi (\text{r})d^3\text{r}$$

在復值函數的內積中，順序是比較重要的，所以這個內積被稱為scalar product of $\psi$ by $?$，也就是用$?$乘$\psi$的內積，如果兩個波函數內積為0，就稱它們正交(orthogonal)。它滿足下面四條性質：

$(?,\psi )=(\psi ,?{)}^{?}$

Linearity: $(?,{\lambda }_1{\psi }_1+{\lambda }_2{\psi }_2)={\lambda }_1(?,{\psi }_1)+{\lambda }_2(?,{\psi }_2)$

Anti-linearity: $({\lambda }_1{?}_1+{\lambda }_2{?}_2,\psi )={\lambda }_1^{?}({?}_1,\psi )+{\lambda }_2^{?}({?}_2,\psi )$

Schwarz不等式：$|({\psi }_1,{\psi }_2)|\le \sqrt{({\psi }_1,{\psi }_1)}\sqrt{({\psi }_2,{\psi }_2)}$

波函數的線性算子

稱定義在$\mathcal{F}$上的函數$A$是線性算子，如果$?{\psi }_1,{\psi }_2\in \mathcal{F}$，
$$A({\lambda }_1{\psi }_1+{\lambda }_2{\psi }_2)={\lambda }_{1}A{\psi }_1+{\lambda }_{2}A{\psi }_2,?{\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{C}$$

常見的比如微分算子：
$$D_x\psi =\frac{?\psi }{?x}$$

parity operator：
$$\Pi \psi (x,y,z)=\psi (?x,?y,?z)$$

不知道是什么但只是簡單和$x$做個乘法的算子：
$$X\psi =x\psi$$

兩個線性算子的乘法是
$$(AB)\psi =A(B\psi )$$

通常$AB=BA$，關于線性算子乘法的交換律，我們定義commutator（交換子）來描述：
$$[A,B]=AB?BA$$

比如
$$[X,D_x]=x\frac{?}{?x}?\frac{?}{?x}x=x\frac{?}{?x}?x\frac{?}{?x}?1=?1$$

如果兩個線性算子的交換子為0就稱它們滿足交換律。

波函數空間的離散基

波函數的標準正交基

稱$\{u_i{\}}_{i\ge 1}?\mathcal{F}$是$\mathcal{F}$的一組標準正交基，如果

$(u_i,u_j)={\delta }_{ij}$，其中${\delta }_{ij}$是Kronecker符號

$?\psi \in \mathcal{F}$, $?!\{c_i{\}}_{i\ge 1}?\mathbb{C}$, $$\psi =\sum _i{c}_i{u}_i$$稱$\{c_i{\}}_{c_i}$ represent $\psi$ in the $\{u_i{\}}_{i\ge 1}$ basis，這里的$c_j$滿足
$$(u_j,\psi )=(u_j,\sum _i{c}_i{u}_i)=\sum _i{c}_i{\delta }_{ji}=c_j$$

從數學上來看$\{c_i{\}}_{i\ge 1}$就相當于$\psi$在$\{u_i{\}}_{i\ge 1}$下的坐標，在計算內積時也確實可以把它當成標準正交基下的坐標使用，比如$\psi$的表示為$\{c_i\}$，$?$的為$\{b_i\}$，則
$$(?,\psi )=(\sum _i{b}_i{u}_i,\sum _j{c}_j{u}_j)=\sum _{i,j}{b}_i^{?}{c}_j{\delta }_{ij}=\sum _i{b}_i^{?}{c}_i$$

Closure Relation

考慮$(u_i,u_j)={\delta }_{ij}$這個關系，因為
$$\begin{gathered} \psi (\text{r})=\sum _i{c}_i{u}_i(\text{r})=\sum _i(u_i,\psi )u_i(\text{r}) \\ =\sum _i\left[\int u_i^{?}(\text{r})\psi ({\text{r}}^{\prime })d^3{\text{r}}^{\prime }\right]u_i(\text{r})=\int \psi (\text{r})\left[\sum _i{u}_i(\text{r})u^{?}({\text{r}}^{\prime })\right]d^3{\text{r}}^{\prime }=\psi (\text{r}) \end{gathered}$$

要使這個恒等式成立，那么
$$\sum _i{u}_i(\text{r})u_i^{?}({\text{r}}^{\prime })=\delta (\text{r}?{\text{r}}^{\prime })$$

這個關系被稱為closure relation，它的意義是在數學上保證基的定義與波函數在基下的表示不存在矛盾。

在已知closure relation的情況下，要得到波函數$\psi$的展開式可以直接用：
$$\psi (\text{r})=\int \psi ({\text{r}}^{\prime })\delta (\text{r}?{\text{r}}^{\prime })d^3{\text{r}}^{\prime }=\int \psi ({\text{r}}^{\prime })\sum _i{u}_i(\text{r})u_i^{?}({\text{r}}^{\prime })d^3{\text{r}}^{\prime }$$

進行計算。

波函數空間的連續基

上面討論的基是可列的，也可以構造不可列的基。稱$\{w_{\alpha }\}$為$\mathcal{F}$的連續標準正交基，如果$(w_{\alpha },w_{{\alpha }^{\prime }})=\delta (\alpha ?{\alpha }^{\prime })$，它的closure relation為
$$\int w_{\alpha }(\text{r})w_{\alpha }^{?}({\text{r}}^{\prime })d\alpha =\delta (\text{r}?{\text{r}}^{\prime })$$

此時波函數在基下的表示為$c(\alpha )$：
$$c(\alpha )=(w_{\alpha },\psi )=\int w_{\alpha }^{?}({\text{r}}^{\prime })\psi ({\text{r}}^{\prime })d^3{\text{r}}^{\prime }$$

不屬于波函數空間的基
有的時候也會用不屬于$\mathcal{F}$的基，比如
$$w_{\text{p}}(\text{r})=\frac{1}{(2\pi ?{)}^{3/2}}{e}^{i\text{p}?\text{r}/?}$$

這里的指標$\text{p}$代表動量。

不屬于波函數空間的基：Dirac函數
再比如
$$w_{{\text{r}}^{\prime }}=\delta (\text{r}?{\text{r}}^{\prime })$$

這里的指標${\text{r}}^{\prime }$代表位移。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学6 单个粒子的波函数空间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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