UA OPTI570 量子力学8 每一个左矢都有与之对应的右矢吗？
UA OPTI570 量子力學(xué)8 每一個(gè)左矢都有與之對(duì)應(yīng)的右矢嗎？
- 反例1：Dirac函數(shù)
- 反例2：Truncated Plane Wave
量子態(tài)空間E\mathcal{E}E中的元素被稱為右矢，用∣?| \rangle∣?括住一個(gè)符號(hào)表示，比如∣ψ?|\psi \rangle∣ψ?，它的物理含義是一個(gè)粒子的量子態(tài)，每一個(gè)右矢都存在與之對(duì)應(yīng)的左矢?ψ∣\langle \psi |?ψ∣，左矢的本質(zhì)是一個(gè)線性函數(shù)，它作用在左矢上得到一個(gè)數(shù)值。這一講試圖回答一個(gè)問(wèn)題：既然每一個(gè)右矢都有與之對(duì)應(yīng)的左矢，那么每個(gè)左矢都能對(duì)應(yīng)到一個(gè)右矢嗎？答案是不！
反例1：Dirac函數(shù)
引入函數(shù)ξx0?(x)\xi_{x_0}^{\epsilon}(x)ξx0???(x)，它長(zhǎng)下面這樣，
當(dāng)?≠0\epsilon \ne 0??=0是，ξx0?(x)\xi_{x_0}^{\epsilon}(x)ξx0???(x)可以作為波函數(shù)，它對(duì)應(yīng)的右矢記為∣ξx0??|\xi_{x_0}^{\epsilon} \rangle∣ξx0????，記?ξx0?∣\langle \xi_{x_0}^{\epsilon}|?ξx0???∣是這個(gè)右矢對(duì)應(yīng)的左矢，則?∣ψ?∈E\forall |\psi \rangle \in \mathcal{E}?∣ψ?∈E，
?ξx0?∣ψ?=∫?∞+∞ξx0?(x)ψ(x)dx\langle \xi_{x_0}^{\epsilon}|\psi \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}\xi_{x_0}^{\epsilon}(x) \psi(x)dx?ξx0???∣ψ?=∫?∞+∞?ξx0???(x)ψ(x)dx
因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">ξx0?(x)\xi_{x_0}^{\epsilon}(x)ξx0???(x)與ψ(x)\psi(x)ψ(x)都是L2L^2L2的函數(shù)，所以它們的內(nèi)積用函數(shù)乘積的積分表示。定義
ξx0(x)=lim??→0ξx0?(x)\xi_{x_0}(x) = \lim_{\epsilon \to 0}\xi_{x_0}^{\epsilon}(x)ξx0??(x)=?→0lim?ξx0???(x)
顯然ξx0(x)\xi_{x_0}(x)ξx0??(x)是δ(x?x0)\delta(x-x_0)δ(x?x0?)，它并不能作為波函數(shù)，也就是說(shuō)
lim??→0∣ξx0???E\lim_{\epsilon \to 0}|\xi_{x_0}^{\epsilon} \rangle \notin \mathcal{E}?→0lim?∣ξx0????∈/?E
但是根據(jù)Dirac函數(shù)的sifting property，
lim??→0∫?∞+∞ξx0?(x)ψ(x)dx=∫?∞+∞lim??→0ξx0?(x)ψ(x)dx=ψ(x0)\lim_{\epsilon \to 0}\int_{-\infty}^{+\infty}\xi_{x_0}^{\epsilon}(x) \psi(x)dx =\int_{-\infty}^{+\infty}\lim_{\epsilon \to 0}\xi_{x_0}^{\epsilon}(x) \psi(x)dx=\psi(x_0) ?→0lim?∫?∞+∞?ξx0???(x)ψ(x)dx=∫?∞+∞??→0lim?ξx0???(x)ψ(x)dx=ψ(x0?)
也就是說(shuō)存在lim??→0?ξx0?∣=?ξx0∣\lim_{\epsilon \to 0}\langle \xi_{x_0}^{\epsilon}| = \langle \xi_{x_0}|?→0lim??ξx0???∣=?ξx0??∣
滿足
?ξx0∣ψ?=ψ(x0)\langle \xi_{x_0}| \psi \rangle = \psi(x_0)?ξx0??∣ψ?=ψ(x0?)
但是它對(duì)應(yīng)的右矢不存在。由此我們可以發(fā)現(xiàn)要構(gòu)造不存在與之對(duì)應(yīng)的右矢的左矢這樣的例子只需要用不屬于波函數(shù)空間的基就行，在這個(gè)例子中我們用了Dirac函數(shù)，那么與之類似的plane wave也可以用。
反例2：Truncated Plane Wave
定義Truncated Plane Wave:
vp0(L)=12π?eip0x/?,?x∈[?L/2,L/2]v_{p_0}^{(L)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}e^{ip_0x/\hbar},\forall x \in [-L/2,L/2]vp0?(L)?=2π??1?eip0?x/?,?x∈[?L/2,L/2]
因?yàn)椴ê瘮?shù)需要infinitely differentiable，所以假設(shè)在這個(gè)區(qū)間外函數(shù)值很快降為0，記它對(duì)應(yīng)的右矢為∣vp0(L)?|v_{p_0}^{(L)}\rangle∣vp0?(L)??，則與上例類似：
lim?L→∞∣vp0(L)??Elim?L→∞?vp0(L)∣=?vp0∣,?vp0∣ψ?=ψˉ(p0)\lim_{L \to \infty} |v_{p_0}^{(L)}\rangle \notin \mathcal{E} \\ \lim_{L \to \infty} \langle v_{p_0}^{(L)}| = \langle v_{p_0}|, \langle v_{p_0}|\psi \rangle = \bar \psi(p_0) L→∞lim?∣vp0?(L)??∈/?EL→∞lim??vp0?(L)?∣=?vp0??∣,?vp0??∣ψ?=ψˉ?(p0?)
ψˉ(p0)\bar \psi(p_0)ψˉ?(p0?)是ψ(x)\psi(x)ψ(x)的Fourier變換在p=p0p=p_0p=p0?處的取值。
總結(jié)
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