UA OPTI570 量子力学8 每一个左矢都有与之对应的右矢吗？
UA OPTI570 量子力學8 每一個左矢都有與之對應的右矢嗎？
- 反例1：Dirac函數
- 反例2：Truncated Plane Wave
量子態空間E\mathcal{E}E中的元素被稱為右矢，用∣?| \rangle∣?括住一個符號表示，比如∣ψ?|\psi \rangle∣ψ?，它的物理含義是一個粒子的量子態，每一個右矢都存在與之對應的左矢?ψ∣\langle \psi |?ψ∣，左矢的本質是一個線性函數，它作用在左矢上得到一個數值。這一講試圖回答一個問題：既然每一個右矢都有與之對應的左矢，那么每個左矢都能對應到一個右矢嗎？答案是不！
反例1：Dirac函數
引入函數ξx0?(x)\xi_{x_0}^{\epsilon}(x)ξx0???(x)，它長下面這樣，
當?≠0\epsilon \ne 0??=0是，ξx0?(x)\xi_{x_0}^{\epsilon}(x)ξx0???(x)可以作為波函數，它對應的右矢記為∣ξx0??|\xi_{x_0}^{\epsilon} \rangle∣ξx0????，記?ξx0?∣\langle \xi_{x_0}^{\epsilon}|?ξx0???∣是這個右矢對應的左矢，則?∣ψ?∈E\forall |\psi \rangle \in \mathcal{E}?∣ψ?∈E，
?ξx0?∣ψ?=∫?∞+∞ξx0?(x)ψ(x)dx\langle \xi_{x_0}^{\epsilon}|\psi \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}\xi_{x_0}^{\epsilon}(x) \psi(x)dx?ξx0???∣ψ?=∫?∞+∞?ξx0???(x)ψ(x)dx
因為ξx0?(x)\xi_{x_0}^{\epsilon}(x)ξx0???(x)與ψ(x)\psi(x)ψ(x)都是L2L^2L2的函數，所以它們的內積用函數乘積的積分表示。定義
ξx0(x)=lim??→0ξx0?(x)\xi_{x_0}(x) = \lim_{\epsilon \to 0}\xi_{x_0}^{\epsilon}(x)ξx0??(x)=?→0lim?ξx0???(x)
顯然ξx0(x)\xi_{x_0}(x)ξx0??(x)是δ(x?x0)\delta(x-x_0)δ(x?x0?)，它并不能作為波函數，也就是說
lim??→0∣ξx0???E\lim_{\epsilon \to 0}|\xi_{x_0}^{\epsilon} \rangle \notin \mathcal{E}?→0lim?∣ξx0????∈/?E
但是根據Dirac函數的sifting property，
lim??→0∫?∞+∞ξx0?(x)ψ(x)dx=∫?∞+∞lim??→0ξx0?(x)ψ(x)dx=ψ(x0)\lim_{\epsilon \to 0}\int_{-\infty}^{+\infty}\xi_{x_0}^{\epsilon}(x) \psi(x)dx =\int_{-\infty}^{+\infty}\lim_{\epsilon \to 0}\xi_{x_0}^{\epsilon}(x) \psi(x)dx=\psi(x_0) ?→0lim?∫?∞+∞?ξx0???(x)ψ(x)dx=∫?∞+∞??→0lim?ξx0???(x)ψ(x)dx=ψ(x0?)
也就是說存在lim??→0?ξx0?∣=?ξx0∣\lim_{\epsilon \to 0}\langle \xi_{x_0}^{\epsilon}| = \langle \xi_{x_0}|?→0lim??ξx0???∣=?ξx0??∣
滿足
?ξx0∣ψ?=ψ(x0)\langle \xi_{x_0}| \psi \rangle = \psi(x_0)?ξx0??∣ψ?=ψ(x0?)
但是它對應的右矢不存在。由此我們可以發現要構造不存在與之對應的右矢的左矢這樣的例子只需要用不屬于波函數空間的基就行，在這個例子中我們用了Dirac函數，那么與之類似的plane wave也可以用。
反例2：Truncated Plane Wave
定義Truncated Plane Wave:
vp0(L)=12π?eip0x/?,?x∈[?L/2,L/2]v_{p_0}^{(L)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}e^{ip_0x/\hbar},\forall x \in [-L/2,L/2]vp0?(L)?=2π??1?eip0?x/?,?x∈[?L/2,L/2]
因為波函數需要infinitely differentiable，所以假設在這個區間外函數值很快降為0，記它對應的右矢為∣vp0(L)?|v_{p_0}^{(L)}\rangle∣vp0?(L)??，則與上例類似：
lim?L→∞∣vp0(L)??Elim?L→∞?vp0(L)∣=?vp0∣,?vp0∣ψ?=ψˉ(p0)\lim_{L \to \infty} |v_{p_0}^{(L)}\rangle \notin \mathcal{E} \\ \lim_{L \to \infty} \langle v_{p_0}^{(L)}| = \langle v_{p_0}|, \langle v_{p_0}|\psi \rangle = \bar \psi(p_0) L→∞lim?∣vp0?(L)??∈/?EL→∞lim??vp0?(L)?∣=?vp0??∣,?vp0??∣ψ?=ψˉ?(p0?)
ψˉ(p0)\bar \psi(p_0)ψˉ?(p0?)是ψ(x)\psi(x)ψ(x)的Fourier變換在p=p0p=p_0p=p0?處的取值。
總結
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