UA OPTI570 量子力学10 位置表象与动量表象
UA OPTI570 量子力學10 位置表象與動量表象
- 位置與動量表象的簡單性質
- 位置算符與動量算符
這一講討論兩個非常重要的representation，也就是坐標表象（位置表象、位移表象）與動量表象。之前討論狀態空間的基的時候提到過，考慮一維波動，坐標左矢{∣x′?}\{|x' \rangle\}{∣x′?}對應的波函數可以用{δ(x?x′)}\{\delta(x-x')\}{δ(x?x′)}表示，動量左矢{∣p′?}\{|p'\rangle\}{∣p′?}對應的波函數可以用{12π?eip′x/?}\{\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ip'x/\hbar}\}{2π??1?eip′x/?}表示，這一講我們討論更詳細的性質。
位置與動量表象的簡單性質
性質1
?x′∣x′′?=δ(x′?x′′)?p′∣p′′?=δ(p′?p′′)\langle x'|x'' \rangle = \delta(x'-x'') \\ \langle p'|p''\rangle = \delta(p'-p'')?x′∣x′′?=δ(x′?x′′)?p′∣p′′?=δ(p′?p′′)
性質2 Closure Relation與計算量子態的表象
∫?∞+∞∣x??x∣dx=1^=∫?∞+∞∣p??p∣dp\int_{-\infty}^{+\infty} |x \rangle \langle x| dx=\hat 1= \int_{-\infty}^{+\infty} |p \rangle \langle p| dp∫?∞+∞?∣x??x∣dx=1^=∫?∞+∞?∣p??p∣dp
因此
1=?ψ∣ψ?=?ψ∣1^∣ψ?=?ψ∣(∫?∞+∞∣x??x∣dx)∣ψ?=∫?∞+∞∣?x∣ψ?∣2dx1=\langle \psi |\psi \rangle=\langle \psi| \hat 1|\psi\rangle = \langle \psi| \left( \int_{-\infty}^{+\infty} |x \rangle \langle x| dx \right) |\psi \rangle =\int_{-\infty}^{+\infty}|\langle x |\psi \rangle |^2 dx1=?ψ∣ψ?=?ψ∣1^∣ψ?=?ψ∣(∫?∞+∞?∣x??x∣dx)∣ψ?=∫?∞+∞?∣?x∣ψ?∣2dx
所以∣ψ?|\psi\rangle∣ψ?的位置表象為
?x∣ψ?=ψ(x)\langle x|\psi\rangle = \psi(x)?x∣ψ?=ψ(x)
實際上這個也可以用∣x?|x\rangle∣x?對應的波函數計算得到：
?x∣ψ?=∫?∞+∞δ(z?x)ψ(z)dz=ψ(x)\langle x|\psi\rangle =\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(z-x)\psi(z)dz=\psi(x)?x∣ψ?=∫?∞+∞?δ(z?x)ψ(z)dz=ψ(x)
類似地，∣ψ?|\psi\rangle∣ψ?的動量表象為
?p∣ψ?=∫?∞+∞12π?eipx/?ψ(x)dx=ψ~(p)=FT[ψ(x)](p)\langle p|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}\psi(x)dx=\tilde \psi(p)=FT[\psi(x)](p)?p∣ψ?=∫?∞+∞?2π??1?eipx/?ψ(x)dx=ψ~?(p)=FT[ψ(x)](p)
也就是它的位置表象的傅里葉變換。
總結：得到∣ψ?|\psi\rangle∣ψ? in the {∣x?}\{|x\rangle\}{∣x?}-basis representation and ∣ψ?|\psi\rangle∣ψ? in the {∣p?}\{|p\rangle\}{∣p?}-basis representation遵循下面幾個步驟
性質3 位置表象與動量表象之間的轉換
根據Dirac函數的sifting property，
?p∣x′?=12π?e?ipx′/?=?x′∣p??p′∣x?=12π?e?ip′x/?\langle p|x' \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}e^{-ipx'/\hbar} =\langle x'|p \rangle \\ \langle p'|x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}e^{-ip'x/\hbar}?p∣x′?=2π??1?e?ipx′/?=?x′∣p??p′∣x?=2π??1?e?ip′x/?
根據這些結果推導，已知ψ(x)\psi(x)ψ(x)，要如何得到ψ~(p)\tilde \psi(p)ψ~?(p)？這個結果在上文已經得到了
ψ~(p)=?p∣ψ?=?p∣1^∣ψ?=?p∣(∫?∞+∞∣x??x∣dx)∣ψ?=∫?∞+∞?p∣x?ψ(x)dx=∫?∞+∞12π?e?ipx/?ψ(x)dx=FT[ψ(x)](p)\tilde \psi(p)=\langle p|\psi \rangle = \langle p|\hat 1|\psi \rangle = \langle p|\left( \int_{-\infty}^{+\infty} |x \rangle \langle x| dx \right)|\psi \rangle \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} \langle p|x \rangle \psi(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}e^{-ipx/\hbar} \psi(x)dx=FT[\psi(x)](p)ψ~?(p)=?p∣ψ?=?p∣1^∣ψ?=?p∣(∫?∞+∞?∣x??x∣dx)∣ψ?=∫?∞+∞??p∣x?ψ(x)dx=∫?∞+∞?2π??1?e?ipx/?ψ(x)dx=FT[ψ(x)](p)
位置算符與動量算符
前幾講有提到過，物理量在量子力學中是用算符來表示的，那么作為經典力學中最基本的位移與動量，它們應該用什么算符來表示顯然是很值得思考的問題。
首先定義位置算符X^:E→E\hat X: \mathcal{E} \to \mathcal{E}X^:E→E，滿足
X^∣ψ?=∣ψ′?\hat X|\psi \rangle=|\psi'\rangleX^∣ψ?=∣ψ′?
其中∣ψ′?|\psi'\rangle∣ψ′?的位置表象與∣ψ?|\psi\rangle∣ψ?的位置表象滿足ψ′(x)=xψ(x)\psi'(x)=x\psi(x)ψ′(x)=xψ(x)
于是
xψ(x)=x?x∣ψ?=?x∣ψ′?=?x∣X^∣ψ?,?ψ∈Ex\psi(x)=x\langle x|\psi \rangle = \langle x|\psi'\rangle = \langle x|\hat X|\psi\rangle,\forall \psi \in \mathcal{E}xψ(x)=x?x∣ψ?=?x∣ψ′?=?x∣X^∣ψ?,?ψ∈E
所以x?x∣=?x∣X^x\langle x| = \langle x|\hat Xx?x∣=?x∣X^，或者X^?∣x?=x∣x?\hat X^{\dag}|x\rangle = x|x\rangleX^?∣x?=x∣x?。
關于位置算符，第一個要回答的問題是它是不是一個厄爾米特算符，因為厄爾米特性是算符作為可觀測量的必要條件，所以驗證位置算符的厄爾米特性能幫助判斷位置是不是可觀測量。計算
?x∣X^?∣ψ?=(?ψ∣X^∣x?)?=(?ψ∣1^X^∣x?)?=(∫?∞+∞dx′?ψ∣x′??x′∣X^∣x?)?=(∫?∞+∞dx′ψ?(x′)x′?x′∣x?)?=(∫?∞+∞dx′ψ?(x′)x′δ(x′?x))?=xψ(x)=?x∣X^∣ψ?\begin{aligned}\langle x|\hat X^{\dag}|\psi\rangle & = \left(\langle \psi|\hat X|x\rangle \right)^* \\ & =\left(\langle \psi| \hat 1\hat X|x\rangle \right)^* \\ &= \left(\int_{-\infty}^{+\infty}dx'\langle \psi| x' \rangle \langle x' |\hat X|x\rangle \right)^* \\& =\left(\int_{-\infty}^{+\infty}dx' \psi^*(x') x'\langle x' |x\rangle \right)^* \\ &=\left(\int_{-\infty}^{+\infty}dx' \psi^*(x') x'\delta(x'-x) \right)^* \\ & = x \psi(x) = \langle x|\hat X|\psi\rangle \end{aligned}?x∣X^?∣ψ??=(?ψ∣X^∣x?)?=(?ψ∣1^X^∣x?)?=(∫?∞+∞?dx′?ψ∣x′??x′∣X^∣x?)?=(∫?∞+∞?dx′ψ?(x′)x′?x′∣x?)?=(∫?∞+∞?dx′ψ?(x′)x′δ(x′?x))?=xψ(x)=?x∣X^∣ψ??
這說明位置算符是厄爾米特算符。
接下來定義動量算符P^\hat PP^，假設它的特征方程為P^∣p?=p∣p?\hat P|p \rangle = p|p \rangleP^∣p?=p∣p?，我們可以先討論一下?x∣P^∣ψ?\langle x|\hat P|\psi\rangle?x∣P^∣ψ?：
?x∣P^∣ψ?=?x∣P^1^∣ψ?=∫?∞+∞?x∣P^∣p??p∣ψ?dp=∫?∞+∞p?x∣p??p∣ψ?dp=12π?∫?∞+∞pψˉ(p)eixp/?dp=i???x12π?∫?∞+∞ψˉ(p)eixp/?dp=?i???xψ(x)\begin{aligned} \langle x|\hat P|\psi\rangle & =\langle x|\hat P \hat 1|\psi\rangle \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} \langle x|\hat P |p \rangle \langle p|\psi\rangle dp \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} p\langle x |p \rangle \langle p|\psi\rangle dp \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty} p\bar \psi(p)e^{ixp/\hbar} dp \\ & = \frac{i}{\hbar} \frac{\partial }{\partial x} \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty} \bar \psi(p)e^{ixp/\hbar} dp \\ & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} \psi(x)\end{aligned}?x∣P^∣ψ??=?x∣P^1^∣ψ?=∫?∞+∞??x∣P^∣p??p∣ψ?dp=∫?∞+∞?p?x∣p??p∣ψ?dp=2π??1?∫?∞+∞?pψˉ?(p)eixp/?dp=?i??x??2π??1?∫?∞+∞?ψˉ?(p)eixp/?dp=?i??x??ψ(x)?
也就是說，在位置表象中，P^\hat PP^的作用與?i???x-i \hbar \frac{\partial }{\partial x}?i??x??一樣。類似地，如果是在動量表象中，X^\hat XX^的作用就是和i???pi\hbar \frac{\partial }{\partial p}i??p??一樣的。
下面考慮位置算符與動量算符的對易：
?x∣[X^,P^]∣ψ?=?x∣X^P^∣ψ???x∣P^X^∣ψ?=x?x∣P^∣ψ?+i???x?x∣X^∣ψ?=?i?x??xψ(x)+i???x(xψ(x))=i?ψ(x)\begin{aligned} \langle x|[\hat X,\hat P ]|\psi\rangle & = \langle x|\hat X\hat P |\psi\rangle - \langle x|\hat P \hat X|\psi\rangle \\ & = x \langle x | \hat P | \psi \rangle+i\hbar \frac{\partial }{\partial x} \langle x|\hat X |\psi \rangle \\ & = -i\hbar x \frac{\partial }{\partial x} \psi(x)+i\hbar \frac{\partial }{\partial x}(x\psi(x)) \\ & = i\hbar \psi(x)\end{aligned}?x∣[X^,P^]∣ψ??=?x∣X^P^∣ψ???x∣P^X^∣ψ?=x?x∣P^∣ψ?+i??x???x∣X^∣ψ?=?i?x?x??ψ(x)+i??x??(xψ(x))=i?ψ(x)?
這說明
[X^,P^]=i?1^=i?[\hat X,\hat P] = i\hbar \hat 1 = i \hbar[X^,P^]=i?1^=i?
最后給這里的各種符號做個總結，首先是與?x∣\langle x|?x∣有關的
- ?x∣ψ?=ψ(x)\langle x |\psi \rangle = \psi(x)?x∣ψ?=ψ(x)，也就是說?x∣\langle x |?x∣的作用是把左矢對應的波函數放在位置表象中；
- ?x∣X^∣ψ?=xψ(x)\langle x |\hat X|\psi \rangle = x\psi(x)?x∣X^∣ψ?=xψ(x)
- ?x∣P^∣ψ?=?i???xψ(x)\langle x |\hat P|\psi \rangle = -i\hbar \frac{\partial }{\partial x}\psi(x)?x∣P^∣ψ?=?i??x??ψ(x)
- ?x∣p0?=12π?eixp0/?\langle x |p_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}e^{ixp_0/\hbar}?x∣p0??=2π??1?eixp0?/?
- ?x∣x0?=δ(x?x0)\langle x|x_0 \rangle = \delta(x-x_0)?x∣x0??=δ(x?x0?)
然后是與?p∣\langle p |?p∣有關的
- ?p∣ψ?=ψˉ(p)\langle p | \psi \rangle=\bar \psi(p)?p∣ψ?=ψˉ?(p)，也就是說?x∣\langle x |?x∣的作用是把左矢對應的波函數放在動量表象中；
- ?p∣X^∣ψ?=i???xψˉ(x)\langle p |\hat X|\psi \rangle = i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\bar \psi(x)?p∣X^∣ψ?=i??x??ψˉ?(x)
- ?p∣P^∣ψ?=pψˉ(x)\langle p |\hat P|\psi \rangle = p\bar \psi(x)?p∣P^∣ψ?=pψˉ?(x)
- ?p∣x0?=12π?e?ix0p/?\langle p|x_0 \rangle =\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}e^{-ix_0p/\hbar}?p∣x0??=2π??1?e?ix0?p/?
- ?p∣p0?=δ(p?p0)\langle p |p_0 \rangle = \delta(p-p_0)?p∣p0??=δ(p?p0?)
總結
以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学10 位置表象与动量表象的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： UA OPTI570 量子力学8 每一个
- 下一篇： 贝叶斯统计：信噪对偶与Dawid定理