UA OPTI501 電磁波8 習(xí)題課：麥克斯韋方程邊界條件的推導(dǎo)

• • 邊界條件的含義
  • 用Maxwell方程推導(dǎo)邊界條件

Maxwell Macroscopic Equations:
$$\begin{gathered} ??\text{D}={\rho }_{free} \\ ?\times \text{H}={\text{J}}_{free}+\frac{?}{?t}\text{D} \\ ?\times \text{E}=?\frac{?}{?}\text{B} \\ ??\text{B}=0 \end{gathered}$$

其中
$$\begin{gathered} {\rho }_{total}={\rho }_{free}???\text{P} \\ {\text{J}}_{total}={\text{J}}_{free}+\frac{?}{?t}\text{P}+\frac{1}{{\mu }_0}?\times \text{M} \end{gathered}$$

邊界條件的含義

假設(shè)空間中存在兩種介質(zhì)，這兩種介質(zhì)將區(qū)域分割為兩部分，介質(zhì)1對(duì)應(yīng)區(qū)域就用下標(biāo)1區(qū)分，介質(zhì)2對(duì)應(yīng)區(qū)域就用下標(biāo)2區(qū)分，如(a)圖所示，假設(shè)立方體中的曲面就是兩種介質(zhì)交界面，在界面上取${\text{r}}_0$這一點(diǎn)，過(guò)這一點(diǎn)畫(huà)一根非常短的線，其中一端進(jìn)入介質(zhì)1區(qū)域，到達(dá)${\text{r}}_1$，另一端進(jìn)入介質(zhì)2區(qū)域，到達(dá)${\text{r}}_2$，假設(shè)${\text{r}}_2?{\text{r}}_1$是一個(gè)非常小的矢量。邊界條件的含義就是尋找${\text{E}}_{||},{\text{H}}_{||},{\text{D}}_{\perp },{\text{B}}_{\perp }$在${\text{r}}_1$點(diǎn)與在${\text{r}}_2$點(diǎn)的關(guān)系，其中下標(biāo)$||$表示矢量的平行分量（平行于交界面），$\perp$表示矢量的垂直分量（垂直于交界面）。根據(jù)邊界條件可以判斷出電磁場(chǎng)經(jīng)過(guò)介質(zhì)交界面時(shí)是否是連續(xù)變化的。

另外(b)圖是用Maxwell方程推導(dǎo)邊界條件的重要輔助圖，對(duì)于場(chǎng)的散度，可以用一個(gè)非常小的柱體面作為高斯面，用高斯定理進(jìn)行推導(dǎo)；對(duì)于場(chǎng)的散度，可以用一個(gè)非常小矩形作為安培環(huán)路，用Stokes公式進(jìn)行推導(dǎo)。

用Maxwell方程推導(dǎo)邊界條件

電位移的邊界條件
使用Maxwell方程1：
$$??\text{D}={\rho }_{free}$$

這是關(guān)于場(chǎng)的散度的，所以我們用能包圍${\text{r}}_0$的非常小的柱體面作為高斯面，并且這個(gè)柱體面上下底與${\text{r}}_2?{\text{r}}_1$平行，${\text{r}}_1$位于下底面，${\text{r}}_2$位于上底面，對(duì)這個(gè)柱體使用Gauss定理，并假設(shè)柱體的高小到可以忽略不計(jì)，則電位移的平行分量不會(huì)貢獻(xiàn)通量，所以有
$${\int }_V??\text{D}dV={\oint }_S\text{D}?\hat{n}dS={\text{D}}_{\perp }({\text{r}}_2,t)S_{底面}?{\text{D}}_{\perp }({\text{r}}_1,t)S_{底面}$$

而且
$${\int }_V{\rho }_{free}dV={\sigma }_{free}({\text{r}}_0,t)S_{底面}$$

綜上，
$${\text{D}}_{\perp }({\text{r}}_2,t)?{\text{D}}_{\perp }({\text{r}}_1,t)={\sigma }_{free}({\text{r}}_0,t)$$

也就是說(shuō)，當(dāng)電磁場(chǎng)經(jīng)過(guò)介質(zhì)交界面時(shí)，位于界面上的電荷發(fā)生電極化現(xiàn)象，使經(jīng)過(guò)界面后電位移的垂直分量以界面電荷面密度的大小發(fā)生躍變。

磁場(chǎng)的邊界條件
使用Maxwell方程2，
$$?\times \text{H}={\text{J}}_{free}+\frac{?}{?t}\text{D}$$

這是關(guān)于場(chǎng)的旋度的，所以我們用能包圍${\text{r}}_0$的非常小的矩形作為輔助環(huán)路，并且這個(gè)矩形上下長(zhǎng)邊與${\text{r}}_2?{\text{r}}_1$平行，${\text{r}}_1$位于下長(zhǎng)邊，${\text{r}}_2$位于上長(zhǎng)邊，矩形的外法線為$$\hat{n}=\frac{{\text{r}}_2?{\text{r}}_1}{|{\text{r}}_2?{\text{r}}_1|}$$對(duì)這個(gè)矩形使用Stokes定理，并假設(shè)矩形的短邊小到可以忽略不計(jì)，從而使磁場(chǎng)的垂直分量不起作用，則
$$\begin{gathered} {\int }_S?\times \text{H}?\hat{n}dS={\oint }_L\text{H}?d\text{L}={\text{H}}_{||}({\text{r}}_2,t)L_{長(zhǎng)邊}?{\text{H}}_{||}({\text{r}}_1)L_{長(zhǎng)邊} \\ ={\text{J}}_{free}({\text{r}}_0,t)\times \hat{n}{L}_{長(zhǎng)邊} \end{gathered}$$

所以
$${\text{H}}_{||}({\text{r}}_2,t)?{\text{H}}_{||}({\text{r}}_1)={\text{J}}_{free}({\text{r}}_0,t)\times \hat{n}$$

這個(gè)關(guān)系直接用安培定律也可以得到，方法可以參考UA PHYS515A 電磁理論III 靜磁學(xué)問(wèn)題3 靜磁學(xué)問(wèn)題的邊界條件與標(biāo)量勢(shì)方法的應(yīng)用。

電場(chǎng)的邊界條件

用Maxwell方程3，方法與第二個(gè)類似，結(jié)論為
$${\text{E}}_{||}({\text{r}}_2,t)?{\text{E}}_{||}({\text{r}}_1,t)=0$$

磁感應(yīng)強(qiáng)度的邊界條件
用Maxwell方程4，方法與第一個(gè)類似，結(jié)論為
$${\text{B}}_{\perp }({\text{r}}_2,t)?{\text{B}}_{\perp }({\text{r}}_1,t)=0$$

總結(jié)

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