UA OPTI512R 傅立葉光學導論12 傅立葉級數基礎

• • Fourier Series

這一講的目的是簡單介紹一下Fourier分析的基礎，后續會介紹Fourier變換的數值計算方法、用Fourier變換計算卷積的方法以及在衍射計算中的應用。

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函數分解
回顧一下向量在基下的表示：
$$\text{v}=v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}$$

其中$\hat{x},\hat{y},\hat{z}$表示$x,y,z$方向的單位向量，
$$v_x=(\text{v},\hat{x}),v_y=(\text{v},\hat{y}),v_z=(\text{v},\hat{z})$$

在物理中我們也把這個操作解釋為矢量的分解，把一個復雜的矢量$\text{v}$分解為$\hat{x},\hat{y},\hat{z}$的和，分量的長度就是這個矢量與對應方向的單位向量的內積。雖然這里是三維的，但這個操作可以很自然地推廣到$n$維。

向量其實可以看作指標與分量之間的函數關系，比如$n$維向量$\text{v}=(v_1,?,v_n{)}^{\prime }$就可以解釋為$v(n)=v_n$，因此
$$v(n)=\sum _{k=1}^n{v}_k{\hat{x}}_k$$

那么在這個意義上，對于更具有一般性的函數，是否可以像向量這樣分解呢？回顧一下函數的冪級數展開：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n{x}^n$$

如果把這個理解為函數的分解，那么$x^n$就相當于向量分解中的基向量，我們稱它為基函數（basis function），$a_n$就相當于向量分解中在$x^n$方向上的分量，他應該$f(x)$與$x^n$的內積：
$$a_n=?f(x),x^n?$$

也就是說要讓函數的冪級數展開成為它的分解，我們希望$f(x),x^n$屬于同一個Hilbert空間，而Hilbert空間也就可以理解為向量空間推廣到無窮維的結果。

Fourier Series

周期函數 Periodic Function：函數$f_p$是周期函數，如果存在$T>0$，使得
$$f_p(x+nT)=f_p(x),?n\in \mathbb{Z}$$稱$T$為基本周期(fundamental period)，稱${\xi }_0=1/T$為基本頻率(fundamental frequency)。

周期函數的傅立葉級數展開
用$\{e^{j2\pi n{\xi }_0\alpha }{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$作為基函數，$f_p$的Fourier級數展開為
$$f_p(x)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{j2\pi n{\xi }_{0}x}$$

這個式子被稱為synthesis equation，其中$\{c_n\}$被稱為Fourier series coefficients，它是$f_p$與基函數的內積
$$\begin{array}{rl}{c}_n=?f_p(x),e^{j2\pi n{\xi }_{0}x}?& =\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}{f}_p(x){\left(e^{j2\pi n{\xi }_{0}x}\right)}^{?}dx\\ & =\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}{f}_p(x)e^{?j2\pi n{\xi }_{0}x}dx\end{array}$$

這個式子被稱為analysis equation，我們需要驗證這個定義是否合理，也就是把$f_p$的Fourier展開代入這個式子，看看右邊能不能得到$c_n$：

例1 假設$x$軸的單位為$m$，考慮下列矩形波

$$f_p(x)=\{\begin{array}{l}1,2n<x<2n+1,n\in \mathbb{Z}\\ ?1,2n+1<x<2n+2,n\in \mathbb{Z}\end{array}$$

這個函數的周期為$T=2$ (m)，頻率為${\xi }_0=1/2$ (1/m)。計算$f_p$的Fourier級數展開：
$$\begin{array}{rl}{c}_n& =\frac{1}{2}{\int }_0^2{f}_p(x)e^{?j2\pi n\frac{x}{2}}dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{?j\pi nx}dx?\frac{1}{2}{\int }_1^2{e}^{?j\pi nx}dx\\ & =\frac{1?e^{j\pi n}}{j2\pi n}?\frac{e^{?j\pi n}?1}{j2\pi n}=\frac{1?e^{?j\pi n}}{j\pi n}=\{\begin{array}{l}0,neven\\ \frac{2}{j\pi n},nodd\end{array}\end{array}$$

這說明矩形波的Fourier級數中只包含奇數個諧波，并且諧波的強度隨$n$遞減，因此在實際應用中需要權衡計算量與近似誤差，肯定是不可能取所有的$n\in \mathbb{Z}$，通常會只取Fourier展開的$n=?M$到$n=M$這幾項做近似：
$$f_p(x)\approx \sum _{n=?M}^M{c}_n{e}^{j2\pi n{\xi }_{0}x}$$

下圖展示了$M$取不同值時Fourier級數展開對矩形波的近似效果：

Matlab代碼如下（因為我很久沒用過Matlab了，老師又沒給script，就先截張圖放在這里）：

例2 假設$x$軸的單位為$m$，考慮下列三角波

總結

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