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UA OPTI570 量子力学22 2-D Isotropic Q.H.O.简介

發布時間：2025/4/14 编程问答 28 豆豆

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UA OPTI570 量子力學22 2-D Isotropic Q.H.O.簡介

- 基本概念
- 2-D state的矩陣表示

基本概念

這一講介紹一個2-D量子諧振子的例子作為量子諧振子這部分的結尾。考慮2-D Isotropic Q.H.O.，
$V=Vx+Vy=12mw2(X2+Y2)H=Hx+Hy=Px2+Py22m+12mw2(X2+Y2)V=V_x+V_y=\frac{1}{2}mw^2(X^2+Y^2) \\ H = H_x+H_y=\frac{P_x^2+P_y^2}{2m}+\frac{1}{2}mw^2(X^2+Y^2)$

定義湮滅算符
$ax=12(Xσ+iσPx?)ay=12(Yσ+iσPy?)a_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{X}{\sigma}+\frac{i\sigma P_x}{\hbar}\right) \\ a_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{Y}{\sigma}+\frac{i\sigma P_y}{\hbar}\right)$

Coherent state滿足
$ax∣αx?=αx∣αx?,αx=12(?X?σ+iσ?Px??),∣αx?=e?∣αx∣22∑nx=0+∞αxnxnx!∣nx?ay∣αy?=αy∣αy?,αy=12(?Y?σ+iσ?Py??),∣αy?=e?∣αy∣22∑ny=0+∞αynyny!∣ny?a_x |\alpha_x \rangle = \alpha_x | \alpha_x \rangle,\alpha_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\langle X \rangle }{\sigma}+\frac{i\sigma \langle P_x \rangle }{\hbar}\right),|\alpha_x \rangle = e^{-\frac{|\alpha_x|^2}{2}}\sum_{n_x=0}^{+\infty} \frac{\alpha_x^{n_x}}{\sqrt{n_x!}}|n_x \rangle \\ a_y |\alpha_y \rangle = \alpha_y | \alpha_y\rangle,\alpha_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\langle Y \rangle }{\sigma}+\frac{i\sigma \langle P_y \rangle }{\hbar}\right),|\alpha_y \rangle = e^{-\frac{|\alpha_y|^2}{2}}\sum_{n_y=0}^{+\infty} \frac{\alpha_y^{n_y}}{\sqrt{n_y!}}|n_y \rangle$

記x與y方向的energy eigenstate分別為 $Ex={∣nx?}\mathcal{E}_x=\{|n_x \rangle\}$ 與 $Ey={∣ny?}\mathcal{E}_{y}=\{|n_y \rangle\}$ ，則系統的energy eigenstate為
$E={∣nx,ny?}=Ex?Ey\mathcal{E} =\{|n_x,n_y \rangle\}= \mathcal{E}_x \otimes \mathcal{E}_y$

其中 $?\otimes$ 表示張量積。所以
$∣αx,αy?=e?∣αx∣22e?∣αy∣22∑nx,ny=0+∞αxnxαynynx!ny!∣nx,ny?|\alpha_x,\alpha_y \rangle = e^{-\frac{|\alpha_x|^2}{2}}e^{-\frac{|\alpha_y|^2}{2}}\sum_{n_x,n_y=0}^{+\infty} \frac{\alpha_x^{n_x}\alpha_y^{n_y}}{\sqrt{n_x!}\sqrt{n_y!}}|n_x,n_y \rangle$

湮滅算符的作用為
$ax∣αx,αy?=αx∣αx,αy?axay∣αx,αy?=αx∣αx,αy?axay?∣nx,ny?=nxny+1∣nx?1,ny+1?,nx≥1a_x|\alpha_x,\alpha_y \rangle=\alpha_x | \alpha_x,\alpha_y \rangle \\ a_xa_y|\alpha_x,\alpha_y \rangle=\alpha_x | \alpha_x,\alpha_y \rangle \\ a_xa_y^{\dag}|n_x,n_y \rangle=\sqrt{n_x}\sqrt{n_y+1} | n_x-1,n_y+1 \rangle,n_x \ge 1$

Displacement Operator的作用為
$Dx(αx)Dy(αy)∣nx=0,ny=0?=∣αx,αy?D_x(\alpha_x)D_y(\alpha_y)|n_x=0,n_y=0 \rangle = |\alpha_x,\alpha_y \rangle$

2-D state的矩陣表示

按先y后x的順序，比如 $n_x,n_y=0,1,2$ ，
$E={∣00?,∣01?,∣10?,∣02?,∣11?,∣20?,∣12?,∣21?,∣22?}\mathcal{E}=\{|00 \rangle,|01 \rangle,|10 \rangle,|02 \rangle,|11 \rangle,|20 \rangle,|12 \rangle,|21 \rangle,|22\rangle\}$

這幾個狀態的向量表示為 $e1,e2,?,e8e_1,e_2,\cdots,e_8$ ，哈密頓量的矩陣表示為
$?w?diag(1,2,2,3,3,3,4,4,5)\hbar w \cdot diag(1,2,2,3,3,3,4,4,5)$

如果某個量子態滿足
$∣ψ?=∑nx,nycnx,ny∣nx,ny?|\psi \rangle = \sum_{n_x,n_y}c_{n_x,n_y}|n_x,n_y \rangle$

總結

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