UA OPTI570 量子力學 Quasi-classical states與Displacement Operator

• • 在經典諧振子中引入Displacement參數
  • Displacement Operator

關于諧振子，量子力學與經典力學之間有很重要的關聯：當諧振子的能量遠遠大于$?w$時，量子力學與經典力學的結果應該一致。但是在量子諧振子的穩定態下，位移與動量的均值為0，而在經典力學中，位移與動量都是關于時間的函數，二者只有在諧振子能量為0時才會保持為0。所以一個很自然的問題是：能否構造一些量子態，在這些量子態下，位移與動量的均值隨時間變換的規律與經典力學中位移與動量隨時間變化的規律類似？滿足這樣的條件的量子態被稱為quasi-classical states或者coherent states。

在經典諧振子中引入Displacement參數

經典力學中1-D諧振子滿足
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=p/m\\ \dot{p}=?m{w}^{2}x\end{array}$$

引入quantum length scale $\sigma =\sqrt{\frac{?}{mw}}$，定義
$$\hat{x}=x/\sigma ,\hat{p}=\sigma p/?$$

代入到原方程中，
$$\{\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\hat{x}=w\hat{p}\\ \frac{d}{dt}\hat{p}=?w\hat{x}\end{array}$$

類比湮滅算符，引入
$$\alpha (t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{x}+i\hat{p}\right)$$

則$\alpha (t)$在復平面中的軌跡就是諧振子在相空間$(\hat{x}/\sqrt{2},\hat{p}/\sqrt{2})$中的軌跡，它滿足
$$\frac{d}{dt}\alpha (t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{d}{dt}\hat{x}+i\frac{d}{dt}\hat{p}\right)=?iw\alpha (t),\alpha (t)={\alpha }_0{e}^{?iwt}$$

其中${\alpha }_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{x}(0)+i\hat{p}(0)\right)$，所以$\alpha (t)$的軌跡是一個圓：

系統的能量為
$$\frac{[p(0){]}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{w}^2[x(0){]}^2=\frac{?w}{2}[(\hat{x}(0){)}^2+(\hat{p}(0){)}^2]=?w|{\alpha }_0{|}^2$$

在經典力學中$|{\alpha }_0|>>1$

Displacement Operator

定義
$$\hat{D}({\alpha }_0)=e^{{\alpha }_0{\hat{a}}^{?}?{\alpha }_0^{?}\hat{a}}$$

其中$\hat{a}$是湮滅算符，${\alpha }_0$是$\hat{a}$的某個本征值
$${\alpha }_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{?X?}{\sigma }+i\frac{\sigma ?P?}{?}\right),\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\hat{X}}{\sigma }+i\frac{\sigma \hat{P}}{?}\right)$$

稱$\hat{D}({\alpha }_0)$為displacement operator，它是一個酉算符，因為
$${\hat{D}}^{?}({\alpha }_0)\hat{D}({\alpha }_0)=e^{{\alpha }_0^{?}\hat{a}?{\alpha }_0{\hat{a}}^{?}}{e}^{{\alpha }_0{\hat{a}}^{?}?{\alpha }_0^{?}\hat{a}}=1$$

另外從$\hat{D}({\alpha }_0)$的表達式可以發現，${\hat{D}}^{?}({\alpha }_0)=\hat{D}(?{\alpha }_0)$。這個算符的作用是把ground state $|{?}_0?$變成某個coherent state：
$$\hat{D}({\alpha }_0)|{?}_0?=|{\alpha }_0?$$

或者把某個coherent state $|{\alpha }_1?$變成另一個coherent state：
$$\hat{D}({\alpha }_2)|{\alpha }_1?=|{\alpha }_1+{\alpha }_2?$$

如果哈密頓量是與時間無關的，則薛定諤時間演化算符為
$$\hat{U}(t,0)=e^{?iwt}$$

由此可以計算coherent state的演化：
$$|\alpha (t)?=\hat{U}(t,0)|{\alpha }_0?=|{\alpha }_0{e}^{?iwt}?$$

這就與前文經典力學導出的諧振子的$\alpha (t)$一致了。

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總結

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