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UA OPTI570 量子力学29 摄动理论简介

發布時間：2025/4/14 编程问答 23 豆豆

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UA OPTI570 量子力學29 攝動理論簡介

這一篇介紹一些簡單的perturbation theory基礎，攝動理論（perturbation theory）的思想是用微擾方法將復雜的量子系統用簡單的理想化模型近似，以此獲得復雜量子系統的一些性質。

攝動方法描述 已知系統的特征方程
$H0∣?ni?=En0∣?ni?,i∈{1,?,gn}H_0|\phi_n^i \rangle = E_n^0 |\phi_n^i \rangle,i \in \{1,\cdots,g_n\}$

其中 $g_n$ 是第 $n$ 個本征態的degeneracy index，

$g_n=1$ : non-degenerate case，特征方程簡寫為 $H0∣?n?=En0∣?n?H_0|\phi_n \rangle=E_n^0|\phi_n \rangle$
$g_n>1$ : degenerate case，能量本征值 $E_n^0$ 對應 $g_n$ 個本征態

引入另一個哈密頓量
$H(λ)=H0+W=H0+λW^,λ∈R,∣λ∣<<1H(\lambda)=H_0+W = H_0 + \lambda \hat W, \lambda \in \mathbb{R},|\lambda|<<1$

稱 $λW^\lambda \hat W$ 是 $H_0$ 的一個perturbation。這個哈密頓量的特征方程為
$H(λ)∣ψn,j?=En,j(λ)∣ψn,j?H(\lambda)|\psi_{n,j} \rangle = E_{n,j}(\lambda)|\psi_{n,j} \rangle$

假設這個 $H(λ)H(\lambda)$ 就是我們要研究的更復雜的量子系統的Hamitonian，那么攝動理論要解決的問題就是怎么找一個合適的 $H_0$ ，能讓我們用哈密頓量為 $H_0$ 的系統近似這個更復雜的量子系統。

2-D Q.H.O.攝動
考慮用2-D Q.H.O.作為更簡單的量子系統，也就是
$H0=P22m+12mw02(X2+Y2)H_0=\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}mw_0^2(X^2+Y^2)$

我們給它加上一個perturbation，比如
$W=?w(X/σ)4W=\hbar w(X/\sigma)^4$

其中 $σ\sigma$ 是quantum length scale， $σ=?mw\sigma=\sqrt{\frac{\hbar}{mw}}$ ， $w<<w_0$ ，引入 $λ=w/w0\lambda=w/w_0$ ，顯然 $λ<<1\lambda<<1$ ，并且
$W=λ?w0(X/σ)4?λW^W=\lambda \hbar w_0 (X/\sigma)^4 \triangleq \lambda \hat W$

先考慮比較簡單的non-degenerate case： $H=H_0+W$ ，它的特征方程為
$H∣ψn?=En∣ψn?H|\psi_n \rangle = E_n |\psi_n \rangle$

不加證明地給出下面兩個結果
$En≈En0+λ??n∣W^∣?n?+λ2∑p≠n∑i=1gp∣??pi∣W^∣?n?∣2En0?Ep0∣ψn?≈∣?n?+λ∑p≠n∑i=1gp??pi∣W^∣?n?En0?Ep0∣?pi?E_n\approx E_n^0+\lambda \langle \phi_n | \hat W | \phi_n \rangle + \lambda^2 \sum_{p \ne n}\sum_{i=1}^{g_p}\frac{|\langle \phi_p^i|\hat W | \phi_n \rangle|^2}{E_n^0-E_p^0} \\ |\psi_n \rangle \approx |\phi_n \rangle + \lambda \sum_{p \ne n}\sum_{i=1}^{g_p}\frac{\langle \phi_p^i|\hat W|\phi_n \rangle}{E_n^0-E_p^0}|\phi_p^i \rangle$

例：non-generate stationary perturbation的簡單算例
假設
$?n(x)=2Lsin?(nπx/L)En0=n2?2π22mL2=n2A,n=1,2,3,?\phi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(n\pi x/L) \\ E_n^0 =\frac{n^2 \hbar^2 \pi^2}{2mL^2}=n^2A,n=1,2,3,\cdots$

其中 $A$ 表示基態能量本征值 $E_1^0$ ，perturbation為 $W=?X/L,?<<AW=\epsilon X/L,\epsilon<<A$ ，引入 $λ=?/A\lambda=\epsilon/A$ ，則 $W=λA^=λ(AX/L)W=\lambda \hat A=\lambda(AX/L)$

問題1： $W$ 如何改變基態能量本征值？
$E1≈E10+λ??1∣W^∣?1?+λ2∑p≠n∣??p∣W^∣?1?∣2E10?Ep0=A+λA??1∣X/L∣?1?+λ2A2∑p=2+∞∣??p∣X/L∣?1?∣2A?p2A\begin{aligned}E_1 & \approx E_1^0+\lambda \langle \phi_1|\hat W |\phi_1 \rangle+\lambda^2 \sum_{p \ne n} \frac{|\langle \phi_p|\hat W|\phi_1 \rangle|^2}{E_1^0-E_p^0} \\ & = A+\lambda A \langle \phi_1 |X/L|\phi_1 \rangle +\lambda^2A^2 \sum_{p=2}^{+\infty} \frac{|\langle \phi_p|X/L|\phi_1 \rangle|^2}{A-p^2A} \end{aligned}$

其中
$??p∣X/L∣?1?=∫0L2Lsin?(πx/L)sin?(pπx/L)xLdx={1/2,p=1?8pπ2(p2?1)2,p≥2,peven0,p≥3,podd\begin{aligned} \langle \phi_p|X/L|\phi_1 \rangle &= \int_0^L \frac{2}{L}\sin(\pi x/L)\sin(p \pi x/L) \frac{x}{L}dx \\ & = \begin{cases}1/2,p=1 \\ \frac{-8p}{\pi^2(p^2-1)^2},p \ge 2,p\ even \\ 0,p \ge 3,p \ odd\end{cases}\end{aligned}$

綜上可得，
$E1≈A+A2λ?λ2A∑p=2,peven1p2?164p2π4(p2?1)4E_1 \approx A +\frac{A}{2}\lambda - \lambda^2 A \sum_{p=2,p\ even} \frac{1}{p^2-1}\frac{64p^2}{\pi^4(p^2-1)^4}$

問題2：將攝動后的基態寫為原來的本征態的疊加。

$∣ψ1?≈∣?1?+λA∑p=2+∞??p∣X/L∣?1?A?Ap2∣?p?=∣?1?+8λπ2(227∣?2?+43375∣?3?+642875∣?4?+?)\begin{aligned} |\psi_1 \rangle & \approx |\phi_1 \rangle + \lambda A \sum_{p=2}^{+\infty}\frac{\langle \phi_p|X/L|\phi_1 \rangle}{A-Ap^2}|\phi_p \rangle \\ & =|\phi_1 \rangle + \frac{8 \lambda}{\pi^2} \left( \frac{2}{27}|\phi_2 \rangle + \frac{4}{3375}|\phi_3 \rangle + \frac{6}{42875}|\phi_4 \rangle + \cdots \right) \end{aligned}$

可以發現攝動雖然會導致基本偏移，但與更高階的能量本征態之間的線性系數下降得非常快，當 $λ\lambda$ 本身就很小時，可以粗略地認為 $∣ψ1?=∣?1?|\psi_1 \rangle = |\phi_1 \rangle$ ，或者只用基態和下一級本征態的疊加：
$∣ψ1?≈∣?1?+16λ27π2∣?2?|\psi_1 \rangle \approx |\phi_1 \rangle + \frac{16 \lambda}{27 \pi^2}|\phi_2 \rangle$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学29 摄动理论简介的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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