UA OPTI501 电磁波 Lorentz Oscillator Model 2 Clausius-Mossotti修正与极化系数
UA OPTI501 電磁波 Lorentz Oscillator Model 2 Clausius-Mossotti修正與極化系數
- Clausius-Mossotti修正
- Polarizability coefficient的圖像
Clausius-Mossotti修正
在可極化的材料中挖去一個非常小的球，假設這個球的電極化矢量為P\textbf PP，則由于固定電荷的存在，材料中對應部分會產生額外的P/3?0\textbf P/3\epsilon_0P/3?0?的電場，因此實際的局部電場為E+P/(3?0)\textbf E+\textbf P/(3\epsilon_0)E+P/(3?0?)，根據這個現象修正Lorentz模型：
P(r,t)=P(r)e?iwt=?0(E(r)+P(r)/3?0)CK(w)e?iwtP(r,t)=Re[?0E(r)χe(w)e?iwt]\textbf P(\textbf r,t)=\textbf P(\textbf r)e^{-iwt}=\epsilon_0 (\textbf E(\textbf r)+\textbf P(\textbf r)/3 \epsilon_0)C_K(w)e^{-iwt} \\ \textbf P(\textbf r,t)=Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)\chi_e(w)e^{-iwt}]P(r,t)=P(r)e?iwt=?0?(E(r)+P(r)/3?0?)CK?(w)e?iwtP(r,t)=Re[?0?E(r)χe?(w)e?iwt]
其中
χe(w)=3CK(w)3?CK(w)\chi_e(w)=\frac{3C_K(w)}{3-C_K(w)}χe?(w)=3?CK?(w)3CK?(w)?
這個公式被稱為Clausius-Mossotti修正。需要注意的是這個修正的本質是因為材料中的固定電荷產生了額外的電極化，所以在Drude模型中，因為不存在固定電荷，所以不需要這個修正。
Lorenz-Lorentz公式
這個公式的含義與Clausius-Mossotti修正一樣，它相當于Clausius-Mossotti修正的另一種形式。引入折射率(refractive index)
n(w)=?r(w)=1+χe(w)n(w)=\sqrt{\epsilon_r(w)}=\sqrt{1+\chi_e(w)}n(w)=?r?(w)?=1+χe?(w)?
并用折射率表示CK(w)C_K(w)CK?(w)，
n2(w)?1n2(w)+2=13CK(w)=13∑k=1Kfkwp2w0k2?w2?iγkw\frac{n^2(w)-1}{n^2(w)+2} = \frac{1}{3}C_K(w)=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^K \frac{f_k w_p^2}{w_{0k}^2-w^2-i\gamma_k w}n2(w)+2n2(w)?1?=31?CK?(w)=31?k=1∑K?w0k2??w2?iγk?wfk?wp2??
這個公式就是Lorenz-Lorentz公式，在研究氣體密度與氣體折射率之間的關系時可以使用這個公式。
關于P/3?0\textbf P/3 \epsilon_0P/3?0?的由來
Continuity of ψ(r)\psi(\textbf r)ψ(r) requires the scalar inside and outside match on the boundary,
Acos?θR2=BRcos?θ,?θ∈[0,π]\frac{A\cos \theta}{R^2}=BR \cos \theta,\forall \theta \in [0,\pi]R2Acosθ?=BRcosθ,?θ∈[0,π]
Note that the amplitude of tangential component of E\textbf EE is ???rAcos?θr2=2Acos?θ/r3-\frac{\partial}{\partial r}\frac{A \cos \theta}{r^2}=2A \cos \theta/r^3??r??r2Acosθ?=2Acosθ/r3 outside ???rBrcos?θ=?Bcos?θ-\frac{\partial}{\partial r}Br \cos \theta=-B \cos \theta??r??Brcosθ=?Bcosθ inside. The boundary condition requirs
2Acos?θ/R3+Bcos?θ=σ0cos?θ/?02A \cos \theta/R^3+B \cos \theta=\sigma_0 \cos \theta/\epsilon_02Acosθ/R3+Bcosθ=σ0?cosθ/?0?
Above,
A=σ0R33?0,B=A/R3=σ03?0A=\frac{\sigma_0R^3}{3 \epsilon_0},B=A/R^3=\frac{\sigma_0}{3 \epsilon_0}A=3?0?σ0?R3?,B=A/R3=3?0?σ0??
Polarizability coefficient的圖像
為了討論Lorentz模型的物理意義，我們需要先搞懂Polarizability coefficient，
C(w)=Nq2m?0w02?w2?iγw=wp2w02?w2?iγww0=αm,γ=βm,wp=Nq2m?0C(w)=\frac{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w}=\frac{w_p^2}{w_0^2-w^2-i\gamma w} \\ w_0=\sqrt{\frac{\alpha}{m}},\gamma = \frac{\beta}{m},w_p=\sqrt{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}C(w)=w02??w2?iγwm?0?Nq2??=w02??w2?iγwwp2??w0?=mα??,γ=mβ?,wp?=m?0?Nq2??
其中w0w_0w0?是材料的固有頻率（共振頻率）、γ\gammaγ是材料的阻尼系數、wpw_pwp?是材料的電漿頻率，三者的單位都與角頻率相同。
這張圖在以www為變量的的復平面中展示了w02?w2?iγww_0^2-w^2-i\gamma ww02??w2?iγw的形狀，w^\hat ww^代表∣w02?w2?iγw∣|w_0^2-w^2-i\gamma w|∣w02??w2?iγw∣的最小值；
這張圖在以www為變量的的復平面中展示了1/(w02?w2?iγw)1/(w_0^2-w^2-i\gamma w)1/(w02??w2?iγw)的形狀
這張圖展示了www取實數時C(w)C(w)C(w)的實部與虛部的變化規律。
總結
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