UA OPTI501 电磁波 Lorentz Oscillator Model 2 Clausius-Mossotti修正与极化系数
UA OPTI501 電磁波 Lorentz Oscillator Model 2 Clausius-Mossotti修正與極化系數(shù)
- Clausius-Mossotti修正
- Polarizability coefficient的圖像
Clausius-Mossotti修正
在可極化的材料中挖去一個(gè)非常小的球，假設(shè)這個(gè)球的電極化矢量為P\textbf PP，則由于固定電荷的存在，材料中對(duì)應(yīng)部分會(huì)產(chǎn)生額外的P/3?0\textbf P/3\epsilon_0P/3?0?的電場(chǎng)，因此實(shí)際的局部電場(chǎng)為E+P/(3?0)\textbf E+\textbf P/(3\epsilon_0)E+P/(3?0?)，根據(jù)這個(gè)現(xiàn)象修正Lorentz模型：
P(r,t)=P(r)e?iwt=?0(E(r)+P(r)/3?0)CK(w)e?iwtP(r,t)=Re[?0E(r)χe(w)e?iwt]\textbf P(\textbf r,t)=\textbf P(\textbf r)e^{-iwt}=\epsilon_0 (\textbf E(\textbf r)+\textbf P(\textbf r)/3 \epsilon_0)C_K(w)e^{-iwt} \\ \textbf P(\textbf r,t)=Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)\chi_e(w)e^{-iwt}]P(r,t)=P(r)e?iwt=?0?(E(r)+P(r)/3?0?)CK?(w)e?iwtP(r,t)=Re[?0?E(r)χe?(w)e?iwt]
其中
χe(w)=3CK(w)3?CK(w)\chi_e(w)=\frac{3C_K(w)}{3-C_K(w)}χe?(w)=3?CK?(w)3CK?(w)?
這個(gè)公式被稱為Clausius-Mossotti修正。需要注意的是這個(gè)修正的本質(zhì)是因?yàn)椴牧现械墓潭姾僧a(chǎn)生了額外的電極化，所以在Drude模型中，因?yàn)椴淮嬖诠潭姾?#xff0c;所以不需要這個(gè)修正。
Lorenz-Lorentz公式
這個(gè)公式的含義與Clausius-Mossotti修正一樣，它相當(dāng)于Clausius-Mossotti修正的另一種形式。引入折射率(refractive index)
n(w)=?r(w)=1+χe(w)n(w)=\sqrt{\epsilon_r(w)}=\sqrt{1+\chi_e(w)}n(w)=?r?(w)?=1+χe?(w)?
并用折射率表示CK(w)C_K(w)CK?(w)，
n2(w)?1n2(w)+2=13CK(w)=13∑k=1Kfkwp2w0k2?w2?iγkw\frac{n^2(w)-1}{n^2(w)+2} = \frac{1}{3}C_K(w)=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^K \frac{f_k w_p^2}{w_{0k}^2-w^2-i\gamma_k w}n2(w)+2n2(w)?1?=31?CK?(w)=31?k=1∑K?w0k2??w2?iγk?wfk?wp2??
這個(gè)公式就是Lorenz-Lorentz公式，在研究氣體密度與氣體折射率之間的關(guān)系時(shí)可以使用這個(gè)公式。
關(guān)于P/3?0\textbf P/3 \epsilon_0P/3?0?的由來
Continuity of ψ(r)\psi(\textbf r)ψ(r) requires the scalar inside and outside match on the boundary,
Acos?θR2=BRcos?θ,?θ∈[0,π]\frac{A\cos \theta}{R^2}=BR \cos \theta,\forall \theta \in [0,\pi]R2Acosθ?=BRcosθ,?θ∈[0,π]
Note that the amplitude of tangential component of E\textbf EE is ???rAcos?θr2=2Acos?θ/r3-\frac{\partial}{\partial r}\frac{A \cos \theta}{r^2}=2A \cos \theta/r^3??r??r2Acosθ?=2Acosθ/r3 outside ???rBrcos?θ=?Bcos?θ-\frac{\partial}{\partial r}Br \cos \theta=-B \cos \theta??r??Brcosθ=?Bcosθ inside. The boundary condition requirs
2Acos?θ/R3+Bcos?θ=σ0cos?θ/?02A \cos \theta/R^3+B \cos \theta=\sigma_0 \cos \theta/\epsilon_02Acosθ/R3+Bcosθ=σ0?cosθ/?0?
Above,
A=σ0R33?0,B=A/R3=σ03?0A=\frac{\sigma_0R^3}{3 \epsilon_0},B=A/R^3=\frac{\sigma_0}{3 \epsilon_0}A=3?0?σ0?R3?,B=A/R3=3?0?σ0??
Polarizability coefficient的圖像
為了討論Lorentz模型的物理意義，我們需要先搞懂Polarizability coefficient，
C(w)=Nq2m?0w02?w2?iγw=wp2w02?w2?iγww0=αm,γ=βm,wp=Nq2m?0C(w)=\frac{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w}=\frac{w_p^2}{w_0^2-w^2-i\gamma w} \\ w_0=\sqrt{\frac{\alpha}{m}},\gamma = \frac{\beta}{m},w_p=\sqrt{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}C(w)=w02??w2?iγwm?0?Nq2??=w02??w2?iγwwp2??w0?=mα??,γ=mβ?,wp?=m?0?Nq2??
其中w0w_0w0?是材料的固有頻率（共振頻率）、γ\gammaγ是材料的阻尼系數(shù)、wpw_pwp?是材料的電漿頻率，三者的單位都與角頻率相同。
這張圖在以www為變量的的復(fù)平面中展示了w02?w2?iγww_0^2-w^2-i\gamma ww02??w2?iγw的形狀，w^\hat ww^代表∣w02?w2?iγw∣|w_0^2-w^2-i\gamma w|∣w02??w2?iγw∣的最小值；
這張圖在以www為變量的的復(fù)平面中展示了1/(w02?w2?iγw)1/(w_0^2-w^2-i\gamma w)1/(w02??w2?iγw)的形狀
這張圖展示了www取實(shí)數(shù)時(shí)C(w)C(w)C(w)的實(shí)部與虛部的變化規(guī)律。
總結(jié)
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