UA OPTI512R 傅立葉光學(xué)導(dǎo)論22 透鏡成像與傅立葉變換

• • 透鏡的物理光學(xué)模型
  • 透鏡成像原理

透鏡(lens)應(yīng)該是大家接觸最多應(yīng)用最廣泛的光學(xué)元件了，在幾何光學(xué)中，研究透鏡成像時(shí)遵循一些基礎(chǔ)假設(shè)，但在傅立葉光學(xué)中，我們需要用物理光學(xué)的方法建立光的波形在經(jīng)過(guò)透鏡前后的方程，從而在模型上用Fourier變換描述光的傳播中透鏡的作用，用這樣的方法研究透鏡及其成像原理在工程上具有很重要的意義。

考慮下圖所示凸透鏡，

假設(shè)透鏡材料折射率為$n_1=n$，透鏡之外的區(qū)域折射率為$n_0=1$，用$\Delta (x,y)$表示透鏡沿$z$方向的寬度，最大寬度為${\Delta }_0$，用$R_1$與$?R_2$表示透鏡入射面與出射面的半徑。

透鏡的物理光學(xué)模型

透鏡的物理光學(xué)性質(zhì)

假設(shè)一束光從$(x,y)$處入射，經(jīng)過(guò)透鏡前后的光程差(optical path difference, OPD)為（假設(shè)透鏡非常薄，也就是只考慮$z$軸上的路程，在透鏡中的路程為$\Delta (x,y)$，在透鏡外的路程為${\Delta }_0?\Delta (x,y)$，所以）
$$OPD(x,y)=n\Delta (x,y)+n_0[{\Delta }_0?\Delta (x,y)]$$

對(duì)應(yīng)的相位差為
$$?(x,y)=\frac{2\pi }{\lambda }OPD(x,y)=kn\Delta (x,y)+k[{\Delta }_0?\Delta (x,y)]$$

其中波數(shù)$k=\frac{2\pi }{\lambda }$，當(dāng)透鏡非常薄時(shí)，它對(duì)光的吸收可以忽略不計(jì)，因此在通過(guò)透鏡前后，光的幅度不變，只有相位發(fā)生了改變。根據(jù)這個(gè)觀察，我們可以用一個(gè)只改變相位的函數(shù)對(duì)透鏡進(jìn)行建模：
$$t_l=e^{kn\Delta (x,y)+k[{\Delta }_0?\Delta (x,y)]}=e^{jk{\Delta }_0}{e}^{jk(n?1)\Delta (x,y)}$$

用$u_i$表示入射光的波形，$u_l$表示出射光的波形，則透鏡的作用可以表示為
$$u_l(x,y)=u_i(x,y)t_l(x,y)$$

透鏡的幾何性質(zhì)
為了對(duì)透鏡做更精細(xì)的建模，我們需要用一些幾何關(guān)系確定$\Delta (x,y)$的表達(dá)式。

按中軸線把透鏡分為入射區(qū)域和出射出射區(qū)域兩部分，分別用下標(biāo)$1,2$表示，
$$\Delta (x,y)={\Delta }_1(x,y)+{\Delta }_2(x,y)$$

其中
$$\begin{array}{rl}{\Delta }_1(x,y)& ={\Delta }_{10}?\left(R_1?\sqrt{R_1^2?(x^2+y^2)}\right)\\ & ={\Delta }_{10}?R_1\left(1?\sqrt{1?\frac{x^2+y^2}{R_1^2}}\right)\end{array}$$

假設(shè)透鏡的長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于$R_1,R_2$，用一階Taylor展開近似
$$1?\sqrt{1?\frac{x^2+y^2}{R_1^2}}\approx \frac{x^2+y^2}{2R_1^2}$$

所以$${\Delta }_1(x,y)={\Delta }_{10}?\frac{x^2+y^2}{2R_1}$$

類似地，$${\Delta }_2(x,y)={\Delta }_{20}+\frac{x^2+y^2}{2R_2}$$

因此，
$$\begin{array}{rl}\Delta (x,y)& ={\Delta }_{10}?\frac{x^2+y^2}{2R_1}+{\Delta }_{20}+\frac{x^2+y^2}{2R_2}\\ & ={\Delta }_0?\frac{x^2+y^2}{2}\left(\frac{1}{R_1}?\frac{1}{R_2}\right)\end{array}$$

透鏡的焦距滿足
$$\frac{1}{f}=(n?1)\left(\frac{1}{R_1}?\frac{1}{R_2}\right)$$

所以
$$t_l(x,y)=e^{jk{\Delta }_0}{e}^{jk(n?1)\Delta (x,y)}=e^{jkn{\Delta }_0}{e}^{?j\frac{\pi }{\lambda f}(x^2+y^2)}$$

透鏡成像原理

球面波作為入射光
用球面波的quandratic approximation，
$$u_i(x,y)=\frac{e^{jkz}}{j\lambda z}{e}^{j\frac{\pi }{\lambda R}(x^2+y^2)}$$

其中$R$表示球面波波前的半徑，

• $R>0$，diverging wave（發(fā)散的光束）
• $R<0$，converging wave（收斂的光束）
• $R=\infty$, 平面波（平行光束）

經(jīng)過(guò)透鏡后，波形變?yōu)?br /> $$\begin{array}{rl}{u}_l(x,y)& =u_i(x,y)t_l(x,y)\\ & =\frac{e^{jkz}}{j\lambda z}{e}^{j\frac{\pi }{\lambda }\left(\frac{1}{R}?\frac{1}{f}\right)(x^2+y^2)}\end{array}$$

顯然經(jīng)過(guò)透鏡后的波形由$\frac{1}{R}?\frac{1}{f}$決定，比如

• $R=f$，平面波
• $0<f<R$，diverging wave變成converging wave
• $R<f<0$，converging wave變成diverging wave
• $R=\infty$, $f>0$ (positive lens)，平面波變?yōu)閏onverging wave；$f<0$ (negative lens), 平面波變?yōu)閐iverging wave
  

與透鏡入射面接觸的物體

用$t_0(x,y)$物體的形狀，$P(x,y)$表示一個(gè)aperture，則出射波的波形為
$$u_l=t_0(x,y)P(x,y)\underset{透鏡導(dǎo)致的相位}{e^{?j\frac{\pi }{\lambda f}(x^2+y^2)}}$$

在后焦平面(back focal plane)上，波形用Fresnel衍射公式計(jì)算

一個(gè)應(yīng)用：在上一講，我們看了很多衍射的實(shí)驗(yàn)圖，比如在雙縫夫瑯禾費(fèi)衍射的實(shí)驗(yàn)中，為了觀察到夫瑯禾費(fèi)衍射的條紋，我們需要雙縫與接收器之間的距離達(dá)到幾百米甚至一千米，這對(duì)實(shí)驗(yàn)室的要求非常高。但是如果我們把雙縫放在一個(gè)透鏡后面，用$t_0$作為光源，我們?cè)诤蠼蛊矫嫔暇涂梢杂^察到雙縫夫瑯禾費(fèi)衍射條紋。

透鏡前的物體

光從物體所在位置傳播到后焦平面分為三個(gè)階段：第一階段是從$u_i(x,y)$到$u_l(x^{\prime },y^{\prime })$，這個(gè)過(guò)程可以用Fresnel衍射公式計(jì)算
$$u_l(x^{\prime },y^{\prime })=\frac{e^{jk{d}_0}}{j\lambda d_0}?u_i(x,y)e^{j\frac{\pi }{\lambda d_0}[(x?x^{\prime }{)}^2+(y?y^{\prime }{)}^2]}dxdy$$第二個(gè)階段是從$u_l$到$u_l^{\prime }$通過(guò)透鏡的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程只發(fā)生了相位改變，

第三個(gè)階段是從$u_l^{\prime }$向后焦平面方向繼續(xù)傳播的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程也可以用Fresnel衍射公式計(jì)算

由此可以得到在后焦平面上的波形為

一種特殊情況是$d_0=f$，此時(shí)

總結(jié)

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