UA OPTI570 量子力學 公式與結論總結1 角動量基礎

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角動量算符基礎

角動量算符的定義 一個三元組$\text{J}=(J_x,J_y,J_z)$被稱為角動量算符，如果
$$\begin{gathered} [J_x,J_y]=i?J_z \\ [J_y,J_z]=i?J_x \\ [J_z,J_x]=i?J_y \end{gathered}$$

角動量算符的性質 記${\text{J}}^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2,J_{+}=J_x+i{J}_y,J_{?}=J_x?i{J}_y$

$[{\text{J}}^2,J_k]=0,k=x,y,z$

$\{{\text{J}}^2,J_k\}$是CSCO，$k=x,y,z$，通常用$\{{\text{J}}^2,J_z\}$作為CSCO

$J_x=\frac{J_{+}+J_{?}}{2},J_y=?\frac{i}{2}(J_{+}?J_{?})$

${\text{J}}^2|j,m_z?=j(j+1){?}^2|j,m_z?,J_z|j,m_z?=m_z?|j,m_z?$其中$j$是整數或者$j+\frac{1}{2}$是整數，給定$j$的取值，它被稱為角動量的量子數，$m_z\in [?j,j]$且$m_z$也是整數；

$J_{\pm }|j,m_j?=?\sqrt{j(j+1)?m_j(m_j\pm 1)}|j,m_j\pm 1?,J_{\pm }|j,\pm j?=0$

假設$\hat{u}$表示空間中的任意標準化的方向向量，記$J_u=\text{J}?\hat{u}$，則$J_u|j,m_u?=?m_u|j,m_u?$

角動量的態空間與表征 角動量的態空間${\mathcal{E}}_j$的維數為$2j+1$，基為$\{|j,m_z?\}$，基的矩陣表示從$|j,j?$到$|j,?j?$依次為$e_1,e_2,?,e_{2j+1}$，其中$e_k$表示第$k$個元素為1，其余元素均為0的$2j+1$維列向量。

例1：${\mathcal{E}}_{j=3/2}$的維數是$4$，基為$\{|3/2,3/2?,|3/2,1/2?,|3/2,?1/2?,|3/2,?3/2?\}$，基的矩陣表示為
$$?\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}?,?\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}?,?\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}?,?\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}?$$根據角動量的性質4，如果測量${\text{J}}^2$，只有可能得到$j(j+1){?}^2=\frac{15}{4}{?}^2$，于是角動量的大小為$\sqrt{\frac{15}{4}}?$；如果測量$J_z$可能得到$\frac{3}{2}?,\frac{1}{2}?,?\frac{1}{2}?,?\frac{3}{2}?$；如果在某次測量中得到$J_z$為$\frac{1}{2}?$，說明此時量子態為$|j=3/2,m_z=1/2?$。

例2：用$\{{\text{J}}^2,J_z\}$作為CSCO，考慮態空間${\mathcal{E}}_{j=1}$，基為$\{|j=1,m_z=1?,|j=1,m_z=0?,|j=1,m_z=?1?\}$，簡記為$\{|+?,|0?,|??\}$，它們的矩陣表示為
$$?\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}?,?\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}?,?\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}?$$

用性質4計算，比如$?+|{\text{J}}^2|+?=2{?}^2?+|+?=2{?}^2$，所以${\text{J}}^2$的矩陣表示為
$$\begin{array}{c}?\begin{array}{ccc}?+|{\text{J}}^2|+?& ?+|{\text{J}}^2|0?& ?+|{\text{J}}^2|??\\ ?0|{\text{J}}^2|+?& ?0|{\text{J}}^2|0?& ?0|{\text{J}}^2|??\\ ??|{\text{J}}^2|+?& ??|{\text{J}}^2|0?& ??|{\text{J}}^2|??\end{array}?\end{array}=2{?}^2?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}?$$

同樣用性質4計算，比如$??|J_z|??=????|??=??$，所以$J_z$的矩陣表示為
$$\begin{array}{c}?\begin{array}{ccc}?+|J_z|+?& ?+|J_z|0?& ?+|J_z|??\\ ?0|J_z|+?& ?0|J_z|0?& ?0|J_z|??\\ ??|J_z|+?& ??|J_z|0?& ??|J_z|??\end{array}?\end{array}=??\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& ?1\end{array}?$$

要得到$J_x$與$J_y$的矩陣表示，根據性質3，可以先得到$J_{+}$與$J_{?}$的矩陣表示，為此我們用性質5計算，比如$?+|J_{+}|0?=\sqrt{2}??+|+?=\sqrt{2}?,??|J_{?}|0?=\sqrt{2}???|??=\sqrt{2}?$，可得
$$\begin{gathered} \begin{array}{c}?\begin{array}{ccc}?+|J_{+}|+?& ?+|J_{+}|0?& ?+|J_{+}|??\\ ?0|J_{+}|+?& ?0|J_{+}|0?& ?0|J_{+}|??\\ ??|J_{+}|+?& ??|J_{+}|0?& ??|J_{+}|??\end{array}?\end{array}=\sqrt{2}??\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}? \\ \begin{array}{c}?\begin{array}{ccc}?+|J_{?}|+?& ?+|J_{?}|0?& ?+|J_{?}|??\\ ?0|J_{?}|+?& ?0|J_{?}|0?& ?0|J_{?}|??\\ ??|J_{?}|+?& ??|J_{?}|0?& ??|J_{?}|??\end{array}?\end{array}=\sqrt{2}??\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}? \end{gathered}$$

根據性質3可得$J_x$與$J_y$的矩陣表示，下標給出了$J_x,J_y,J_z$的矩陣表示及其特征值：

例3：同樣考慮態空間${\mathcal{E}}_1$，但考慮兩組基，$\{|j=1,m_z=1?,|j=1,m_z=0?,|j=1,m_z=?1?\}$與$\{|j=1,m_x=1?,|j=1,m_x=0?,|j=1,m_x=?1?\}$，簡記為$\{|z+?,|z0?,|z??\}$與$\{|x+?,|x0?,|x??\}$，記這兩組基下角動量算符的矩陣表示為$\{J_x^{(z)},J_y^{(z)},J_z^{(z)}\}$與$\{J_x^{(x)},J_y^{(x)},J_z^{(x)}\}$，例2中我們討論了第一組矩陣表示，現在我們計算第二組矩陣表示。

第一步，計算$J_x^{(z)}$的特征值與特征向量（見上表）；

第二步，給$|x+?,|x0?,|x??$引入global phase factor $\alpha ,\beta ,\gamma$并根據特征向量寫出變換矩陣$$S=\frac{1}{2}?\begin{array}{ccc}{e}^{i\alpha }& \sqrt{2}{e}^{i\beta }& e^{i\gamma }\\ \sqrt{2}{e}^{i\alpha }& 0& ?\sqrt{2}{e}^{i\gamma }\\ e^{i\alpha }& ?\sqrt{2}{e}^{i\beta }& e^{i\gamma }\end{array}?$$

第三步，計算
$$\begin{gathered} J_x^{(x)}=S^{?}{J}_x^{(z)}S=??\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& ?1\end{array}? \\ {J}_y^{(x)}=S^{?}{J}_y^{(z)}S=\frac{?}{\sqrt{2}}?\begin{array}{ccc}0& i{e}^{?i(\alpha ?\beta )}& 0\\ ?i{e}^{i(\alpha ?\beta )}& 0& i{e}^{i(\gamma ?\beta )}\\ 0& ?i{e}^{?i(\gamma ?\beta )}& 0\end{array}? \\ {J}_z^{(x)}=S^{?}{J}_z^{(z)}S=\frac{?}{\sqrt{2}}?\begin{array}{ccc}0& e^{?i(\alpha ?\beta )}& 0\\ e^{i(\alpha ?\beta )}& 0& e^{i(\gamma ?\beta )}\\ 0& e^{?i(\gamma ?\beta )}& 0\end{array}? \end{gathered}$$

總結

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