UA OPTI512R 傅立葉光學導論25 透鏡成像中光源與像的光強關(guān)系

• • 光強關(guān)系
  • 光學傳遞函數(shù)

前兩講介紹了用物理光學的思路分析了透鏡系統(tǒng)中輸入波形與輸出波形之間的關(guān)系，這一講討論輸入波形的光強與輸出波形的光強之間的關(guān)系。用$u(x,y)$表示一個波形，則光強與$|u|$成正比，相位為$\arctan \frac{Im[u(x,y)]}{Re[u(x,y)]}$，比如$u(x,y)=A{e}^{j(k_{x}x+k_{y}y)}$，則光強與$A$成正比，相位是$k_{x}x+k_{y}y$。先嚴格定義一下光強(intensity)：
$$I(x,y)=u(x,y)u^{?}(x,y)=|u(x,y){|}^2$$

比如$u(x,y)=A{e}^{j(k_{x}x+k_{y}y)}$的光強為$I(x,y)=A^2$。下文的分析將使用這個定義。

同時，這一講不假設(shè)光源發(fā)出的光都是相干光，所以光源處的場被稱為spatially incoherent field，含義是它發(fā)出的光相位都是完全隨機的。

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光強關(guān)系

上上講我們介紹了object field與image field中波形的關(guān)系（Field Relation）
$$u_i(x_i,y_i)=\tilde{h}(x_i,y_i)?u_g(x_i,y_i)$$

即image的波形等于PSF與ideal geometric image的卷積。根據(jù)這個關(guān)系，我們可以推導object field與image field中光強的關(guān)系（Intensity Relation）
$$\begin{array}{rl}{I}_i& =|u_i(x_i,y_i){|}^2=u_i(x_i,y_i)u_i^{?}(x_i,y_i)\end{array}$$

其中$|\tilde{h}(x_i,y_i){|}^2$被稱為Incoherent PSF。

光學傳遞函數(shù)

下表總結(jié)了coherent與incoherent的PSF與傳遞函數(shù)（$?$表示卷積），唯一還未回答的問題是：incoherent transfer function的表達式是什么？

Incoherent PSF的Fourier變換被稱為incoherent transfer function或者optical transfer function。用卷積定理，
$$\begin{array}{rl}\mathcal{H}(\xi ,\eta )& =\mathcal{F}[\tilde{h}(x_i,y_i){\tilde{h}}^{?}(x_i,y_i)]\\ & =\mathcal{F}[\tilde{h}(x_i,y_i)]?\mathcal{F}[{\tilde{h}}^{?}(x_i,y_i)]\\ & =H(\xi ,\eta )?H^{?}(?\xi ,?\eta )=r_{HH}(\xi ,\eta )\end{array}$$

也就是說incoherent transfer function是CTF的自相關(guān)函數(shù)，更準確一點

如果代入CTF的表達式

OTF的性質(zhì)：

$\mathcal{H}(0,0)=1$

$\mathcal{H}(\xi ,\eta )={\mathcal{H}}^{?}(?\xi ,?\eta )$

$?\xi ,\eta ,\mathcal{H}(\xi ,\eta )\le \mathcal{H}(0,0)=1$

例：矩形pupil

$$\begin{gathered} P(x,y)=rect(x/L_x,y/L_y) \\ H(\xi ,\eta )=rect(\lambda d_i\xi /L_x,\lambda d_i\eta /L_y) \end{gathered}$$

所以horizontal low-pass cut-off frequency為
$${\xi }_c=\frac{L_x}{2\lambda d_i}$$

verticle low-pass cut-off frequency為
$${\eta }_c=\frac{L_y}{2\lambda d_i}$$

PSF為
$$\tilde{h}(x_i,y_i)=\frac{L_x{L}_y}{{\lambda }^2{d}_i^2}sinc(\frac{L_x{x}_i}{\lambda d_i},\frac{L_y{y}_i}{\lambda d_i})$$

OTF滿足

結(jié)果為

例：圓形pupil
$$\begin{gathered} P(x,y)=circ(r/W)=\{\begin{array}{l}1,r=\sqrt{x^2+y^2}\le W/2\\ 0,r=\sqrt{x^2+y^2}>W/2\end{array} \\ H(\xi ,\eta )=circ(\frac{\lambda d_i\rho }{W}),\rho =\sqrt{{\xi }^2+{\eta }^2} \end{gathered}$$

所以radial low-pass cut-off frequency為
$${\rho }_c=\frac{W}{2\lambda d_i}$$

PSF為
$$\tilde{h}(x_i,y_i)=\frac{W^2}{{\lambda }^2{d}_i^2}somb(\frac{W{r}_i}{\lambda d_i})$$

其中somb表示Sombrero函數(shù)，
$$somb(r)=\frac{2J_1(\pi r)}{\pi r},r=\sqrt{x^2+y^2}$$

$J_1$是1階第一類Bessel函數(shù)。OTF為


總結(jié)：CTF與OTF的關(guān)系圖

總結(jié)

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