UA OPTI570 量子力學34 Harmonic Perturbation簡介

考慮Hamiltonian $H(t)=H_0+W(t)$，其中time-dependent perturbation $W(t)$滿足
$$W(t)=W\sin (wt)$$

稱這樣的time-dependent perturbation為harmonic perturbation。我們用上一講最后的例子的設定簡單討論一下harmonic perturbation的性質。

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Harmonic perturbation下的轉移概率
假設$|\psi (0)?=|{?}_i?$，則$b_i^{(0)}=b_i(0)=1$，所以
$$b_n^{(1)}(t)=\frac{1}{i?}{\int }_{t_0}^t\sum _k{e}^{i{w}_{nk}{t}^{\prime }}{\hat{W}}_{nk}(t^{\prime })b_k(t^{\prime })d{t}^{\prime }=\frac{1}{i?}{\int }_{t_0}^t{e}^{i{w}_{ni}{t}^{\prime }}{\hat{W}}_{ni}(t^{\prime })d{t}^{\prime }$$

如果用一階近似，則
$${\mathbb{P}}_f(t)=|b_f(0)+\lambda b_f^{(1)}(t){|}^2$$

所以初始量子態為$|{?}_i?$，$t$時間后的量子態為$|{?}_f?$的概率為
$${\mathbb{P}}_{i\to f}(t)={\lambda }^2|b_f^{(1)}{|}^2=\frac{{\lambda }^2}{{?}^2}|{\int }_{t_0}^t{e}^{i{w}_{fi}{t}^{\prime }}{\hat{W}}_{fi}(t^{\prime })d{t}^{\prime }{|}^2$$

其中
$$\lambda {\hat{W}}_{fi}(t^{\prime })=W_{ft}\sin (w{t}^{\prime })$$

代入到概率的表達式中，
$${\mathbb{P}}_{i\to f}(t)=\frac{W_{fi}^2}{{?}^2}|{\int }_{t_0}^t{e}^{i{w}_{fi}{t}^{\prime }}\sin (w{t}^{\prime })d{t}^{\prime }{|}^2$$

將$e^{i{w}_{fi}{t}^{\prime }}$寫成$\cos (w_{fi}{t}^{\prime })+i\sin (w_{fi}{t}^{\prime })$，代入到上式的積分中并計算可得
$${\int }_{t_0}^t{e}^{i{w}_{fi}{t}^{\prime }}\sin (w{t}^{\prime })d{t}^{\prime }=\frac{1?e^{i(w_{fi}+w)t}}{w_{fi}+w}?\frac{1?e^{i(w_{fi}?w)t}}{w_{fi}?w}$$

Resonant Approximation (也叫rotating wave approximation)
如果$||w_{fi}|?w|<<|w_{fi}|$并且$||w_{fi}|?w|<<w$，則$w_{fi}$與$w$同號時，
$$\left|\frac{1?e^{i(w_{fi}?w)t}}{w_{fi}?w}\right|>>\left|\frac{1?e^{i(w_{fi}+w)t}}{w_{fi}+w}\right|$$

轉移概率可以近似為
$${\mathbb{P}}_{i\to f}(t)=\frac{W_{fi}^2}{{?}^2}{\left|\frac{1?e^{i(w_{fi}?w)t}}{w_{fi}?w}\right|}^2$$ $w_{fi}$與$w$異號時，轉移概率可以近似為
$${\mathbb{P}}_{i\to f}(t)=\frac{W_{fi}^2}{{?}^2}{\left|\frac{1?e^{i(w_{fi}+w)t}}{w_{fi}+w}\right|}^2$$

這兩種結果可以統一為下面的形式
$${\mathbb{P}}_{i\to f}(t)=\frac{|{\Omega }_0{|}^2}{{\Delta }_{fi}^2}{\sin }^2({\Delta }_{fi}t/2)$$

其中detuning parameter${\Delta }_{fi}=w?|w_{fi}|$，${\Omega }_0=\frac{W_{fi}}{?}$，這個結果與2-level system的Rabi Oscillator基本一致。

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例 考慮一個Harmonic Perturbation問題，
$$H_0=\frac{P^2}{2m}+V(X)$$

它的特征方程為
$$H_0|{?}_n?=E_n|{?}_n?$$

引入Harmonic Perturbation $W\sin (wt)$，則
$$H(t)=H_0+W\sin (wt)$$

假設系統的初始狀態為$|\psi (0)?=|{?}_i?$并且Resonant Approximation的條件成立，求狀態轉移概率${\mathbb{P}}_{i\to f}(t,w)$。

方法一 2-level System Approximation：假設除了$|{?}_i?$與$|{?}_f?$之外的其他能量本征態都可以忽略，則這個復雜系統就退化成了2-level system，用Rabi Oscillator的方法
$${\mathbb{P}}_{i\to f}(t,w)=\frac{|{\Omega }_0{|}^2}{\Omega }{\sin }^2(\Omega t/2)$$

其中${\Omega }_0=\frac{W_{fi}}{?}$；

方法二 Time-dependent Perturbation Theory：上文已經推導了，在Resonant Approximation下，
$${\mathbb{P}}_{i\to f}(t,w)=\frac{|{\Omega }_0{|}^2}{{\Delta }_{fi}^2}{\sin }^2({\Delta }_{fi}t/2)$$

這兩種方法等價，如果

• Large Detuning：${\Delta }_{fi}^2>>|{\Omega }_0{|}^2$
• Weak Coupling：${\Omega }_0$非常小

總結

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