UA OPTI512R 傅立葉光學導論 采樣定理例題

例1 計算下列函數的帶寬

$sinc(ax)$

$sin{c}^2(ax)$

$\cos (2\pi {\xi }_{0}x)$

${\sin }^2(2\pi {\xi }_{0}x)$

$2\cos (\pi x)+\sin (2\pi x)$

$sin{c}^2(x)\cos (\pi x)$

答案 主要就是計算這些函數的Fourier變換，
$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[sinc(ax)]& =\frac{1}{|a|}\mathcal{F}[sinc(x)](\xi /a)\\ & =\frac{1}{|a|}rect(\xi /a)\\ & =\{\begin{array}{l}\frac{1}{|a|},?|a|/2\le \xi \le |a|/2\\ 0,otherwise\end{array}\end{array}$$

所以帶寬為$|a|$，Nyquist頻率為${\xi }_{NS}>|a|$；

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[sin{c}^2(ax)]& =\frac{1}{|a|}\mathcal{F}[sin{c}^2(x)](\xi /a)\\ & =\frac{1}{|a|}tri(\xi /a)\end{array}$$

帶寬為$2|a|$，Nyquist頻率為${\xi }_{NS}>2|a|$；

$$\mathcal{F}[\cos (2\pi {\xi }_{0}x)]=\frac{\delta (\xi ?{\xi }_0)+\delta (x+x_0)}{2}$$

帶寬為$2{\xi }_0$，Nyquist頻率為${\xi }_{NS}>2{\xi }_0$；

$$\mathcal{F}[{\sin }^2(2\pi {\xi }_{0}x)]=\frac{1}{2}\mathcal{F}[1?2\cos (2\pi 2{\xi }_{0}x)]=\frac{\delta (\xi )+\delta (\xi ?2{\xi }_0)+\delta (x+2x_0)}{2}$$

帶寬為$4{\xi }_0$，Nyquist頻率為${\xi }_{NS}>4{\xi }_0$；

$$\mathcal{F}[2\cos (\pi x)+\sin (2\pi x)]=\delta (\xi ?1/2)+\delta (\xi +1/2)+\frac{\delta (x?1)?\delta (x+1)}{2}$$

帶寬為$2$，Nyquist頻率為${\xi }_{NS}>2$；

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[sin{c}^2(x)\cos (\pi x)]& =tri(x)?\frac{\delta (x?1/2)+\delta (x+1/2)}{2}\\ & =\frac{tri(x?1/2)+tri(x+1/2)}{2}\end{array}$$

帶寬為$3$，Nyquist頻率為${\xi }_{NS}>3$；

---

例2 某種連續信號為$f(x)=sin{c}^2(5x)$，用采樣函數$samp(x)={\xi }_{S}comb({\xi }_{S}x)$對其進行采樣后作為一個傳遞函數為$H(\xi )=rect(\xi /{\xi }_S)$的LSI的輸入，用$g(x)$表示LSI的輸出。

求$f(x)$的Nyquist頻率${\xi }_{NS}$；

當${\xi }_S=b{\xi }_{NS},0<b<1$時，求$g(x)$

答案
第一問，計算$f(x)$的Fourier變換
$$\begin{array}{rl}F(\xi )& =\mathcal{F}[f(x)]=\mathcal{F}[sin{c}^2(5x)]=\frac{1}{5}tri(x/5)\end{array}$$

帶寬為10，所以${\xi }_{NS}=10$；

第二問，計算輸入的頻譜，
$$\begin{array}{rl}{F}_S(\xi )& =\mathcal{F}[f(x)samp(x)]\\ & =F(\xi )?\mathcal{F}[samp(x)]\\ & =\frac{1}{5}tri(\xi /5)?comb(\xi /{\xi }_S)\\ & =\frac{1}{5}tri(\xi /5)?\sum _{n=?\infty }^{+\infty }\delta (\xi ?n{\xi }_S)\end{array}$$

所以輸出的頻譜為
$$\begin{array}{rl}G(\xi )& =F_S(\xi )H(\xi )\\ & =\left[\frac{1}{5}tri(\xi /5)?\sum _{n=?\infty }^{+\infty }\delta (\xi ?n{\xi }_S)\right]rect(\xi /{\xi }_S)\\ & =\frac{1}{10}rect\left(\frac{\xi }{b{\xi }_{NS}}\right)+\frac{1}{10}tri\left(\frac{\xi }{(1?b){\xi }_{NS}}\right)\end{array}$$

最后計算Fourier逆變換，
$$\begin{array}{rl}g(x)& ={\mathcal{F}}^{?1}\left[\frac{1}{10}rect\left(\frac{\xi }{b{\xi }_{NS}}\right)+\frac{1}{10}tri\left(\frac{\xi }{(1?b){\xi }_{NS}}\right)\right]\\ & =bsinc(b{\xi }_{NS}x)+(1?b)sin{c}^2((1?b){\xi }_{NS}x)\end{array}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI512R 傅立叶光学导论 采样定理例题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。