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UA OPTI544 量子光学7 补充：Density Operator

發(fā)布時(shí)間：2025/4/14 编程问答 42 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA OPTI544 量子光学7 补充：Density Operator 小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

UA OPTI544 量子光學(xué)7 補(bǔ)充：Density Operator

- Pure State
- Statistical Mixture of States
- - Density Matrix的物理意義
  - Mixture State的本質(zhì)

在物理實(shí)踐中，系統(tǒng)的狀態(tài)有時(shí)并不具有完美的確定性，比如自然光的偏振態(tài)可能是任意方向，并且各方向具有同等的可能性。因此，如何對(duì)具有不完全信息的系統(tǒng)進(jìn)行建模還是很值得討論的。而在量子力學(xué)中，Density Operator就是用來對(duì)具有不完全信息的量子態(tài)進(jìn)行建模的工具。

如果系統(tǒng)處于量子態(tài) $∣ψ1?|\psi_1 \rangle$ 的概率為 $p_1$ ，處于量子態(tài) $∣ψ2?|\psi_2 \rangle$ 的概率為 $p_2$ ，以此類推且 $∑npn=1\sum_{n}p_n=1$ ，則稱系統(tǒng)狀態(tài)為 ${∣ψn?}\{|\psi_n \rangle\}$ 的statistical mixture，可以表示為 $∑npn∣ψn?\sum_n p_n |\psi_n \rangle$ 。需要注意的是這個(gè)表示與量子態(tài)的線性表示是完全不同的概念，在線性表示 $∣ψ?=∑ncn∣ψn?|\psi \rangle=\sum_n c_n |\psi_n \rangle$ 中，系數(shù) ${c_n\}$ 的含義是probability amplitude而非probability。

Pure State

不存在不完全信息的量子態(tài)是pure state，考慮由標(biāo)準(zhǔn)正交基 ${∣un?}\{|u_n \rangle\}$ 線性表示的一個(gè)normalized ket，
$∣ψ?=∑cn∣un?|\psi \rangle = \sum c_n |u_n \rangle$

定義Density Operator為 $ρ=∣ψ??ψ∣\rho=|\psi \rangle \langle \psi|$ ，這個(gè)算符的本質(zhì)就是到量子態(tài) $∣ψ?|\psi \rangle$ 的投影算符，它滿足

$ρ\rho$ 為厄爾米特算符： $ρ?=∣ψ??ψ∣=ρ\rho^{\dag}=|\psi \rangle \langle \psi|=\rho$
$ρ\rho$ 為冪等算符： $ρ2=∣ψ??ψ∣ψ??ψ∣=∣ψ??ψ∣=ρ\rho^2=|\psi \rangle \langle \psi|\psi \rangle \langle \psi|=|\psi \rangle \langle \psi|=\rho$

Density Operator的意義與量子態(tài)基本相同，在大部分場(chǎng)合下二者可以互相替換，但是Density Operator更具有一般性，在完全信息與不完全信息下都可以使用。下面我們簡(jiǎn)單闡述一下我們熟悉的量子態(tài)的相關(guān)概念如何用Density Operator表示。

量子態(tài)的相關(guān)概念

Normalization: $∑n∣cn∣2=1\sum_n |c_n|^2=1$
Matrix element of observable $A$ : $Anp=?un∣A∣un?A_{np}=\langle u_n|A|u_n \rangle$
Expectation of observable $A$ : $?A?=?ψ∣A∣ψ?=∑n,pcn?cpAnp\langle A \rangle = \langle \psi|A|\psi \rangle=\sum_{n,p} c_n^*c_pA_{np}$
Schroedinger equation: $i???t∣ψ?=H∣ψ?i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi \rangle=H|\psi \rangle$

用Density Operator表示量子態(tài)的相關(guān)概念

Normalization: $\rho)=1$
Expectation of observable $A$ : $?A?=tr(ρA)\langle A \rangle = tr(\rho A)$
Schroedinger equation: $i?ddtρ=[H,ρ]i\hbar \fracozvdkddzhkzd{d t}\rho=[H,\rho]$

第一條很容易驗(yàn)證， $ρ\rho$ 的matrix element為
$ρnp=?un∣ρ∣up?=?un∣ψ??ψ∣up?=cn?cp\rho_{np} = \langle u_n |\rho|u_p \rangle = \langle u_n |\psi \rangle \langle \psi|u_p \rangle =c_n^*c_p$

所以 $tr(ρ)=∑nρnn=∑n∣cn∣2=1tr(\rho)=\sum_n \rho_{nn}=\sum_{n}|c_n|^2=1$ ，一般稱 $[ρnp][\rho_{np}]$ 為density matrix；

第二條的驗(yàn)證也很容易，
$?A?=?ψ∣A∣ψ?=∑n,pcn??un∣A∣un?cp=∑n,pcn?cpAnp=tr(ρA)\begin{aligned} \langle A \rangle = \langle \psi| A | \psi \rangle = \sum_{n,p} c_n ^* \langle u_n | A|u_n \rangle c_p=\sum_{n,p} c_n ^*c_p A_{np} =tr(\rho A)\end{aligned}$

第三條需要稍微推導(dǎo)一下，
$ddtρ=(ddt∣ψ?)?ψ∣+∣ψ?(ddt?ψ∣)=(1i?H∣ψ?)?ψ∣+∣ψ?(?1i??ψ∣H)=1i?[H,ρ]\begin{aligned}\fracozvdkddzhkzd{dt} \rho & = \left( \fracozvdkddzhkzd{dt}|\psi \rangle \right)\langle \psi | +|\psi \rangle \left( \fracozvdkddzhkzd{dt}\langle \psi | \right) \\ & = \left( \frac{1}{i\hbar}H|\psi \rangle \right)\langle \psi | +|\psi \rangle \left( -\frac{1}{i\hbar } \langle \psi | H \right) \\ & = \frac{1}{i\hbar}[H,\rho] \end{aligned}$

Statistical Mixture of States

假設(shè) ${∣ψk?}\{|\psi_k \rangle\}$ 表示一系列pure state，考慮一個(gè)statistical mixture
$∣ψ?=∑kpk∣ψk?|\psi \rangle = \sum_k p_k |\psi_k \rangle$

其中 $\le p_k \le 1,\sum_k p_k = 1$ ，其中pure state $∣ψk?|\psi_k \rangle$ 的density operator為 $ρk=∣ψk??ψk∣\rho_k=|\psi_k \rangle \langle \psi_k |$ ，那么statistical mixture的density operator為
$ρ=∑kpkρk\rho = \sum_k p_k \rho_k$

因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline"> $ρk\rho_k$ 是厄爾米特的，所以 $ρ\rho$ 也是厄爾米特算符。但是 $ρ\rho$ 并不是冪等的，即 $ρ2≠ρ\rho^2 \ne \rho$ ，據(jù)此可以總結(jié)出pure state與statistical mixture state的density operator的主要區(qū)別：

Pure state: $ρ2=ρ?tr(ρ2)=tr(ρ)=1\rho^2=\rho \Rightarrow tr(\rho^2)=tr(\rho)=1$
Mixture state: $ρ2≠ρ?tr(ρ2)≤1\rho^2 \ne \rho \Rightarrow tr(\rho^2) \le 1$

下面簡(jiǎn)單總結(jié)一下mixture state的density operator的性質(zhì)（都可以根據(jù)線性性從pure state的性質(zhì)得到，比如第一條， $tr(ρ)=∑kpktr(ρk)=∑kpk=1tr(\rho)=\sum_k p_ktr(\rho_k)=\sum_k p_k=1$ ）：

Normalization: $\rho)=1$
Expectation of observable $A$ : $?A?=tr(ρA)\langle A \rangle = tr(\rho A)$
Schroedinger equation: $i?ddtρ=[H,ρ]i\hbar \fracozvdkddzhkzd{d t}\rho=[H,\rho]$

Density Matrix的物理意義

對(duì)于pure state與mixture state， $ρnn=∣cn∣2\rho_{nn}=|c_n|^2$ 均成立，也就是說Density matrix的對(duì)角元表示概率。

對(duì)于mixture state， $\ne p$ 時(shí)，
$ρnp=∑kpk(cn(k))?cp(k)\rho_{np}=\sum_k p_k (c_n^{(k)})^*c_p^{(k)}$

其中 $c_n^{(k)})^*c_p^{(k)}$ 代表pure state $∣ψk?|\psi_k \rangle$ 中，基態(tài) $∣un?|u_n \rangle$ 與 $∣up?|u_p \rangle$ 的干涉強(qiáng)度，所以 $ρnp\rho_{np}$ 代表在mixture state中，基態(tài) $∣un?|u_n \rangle$ 與 $∣up?|u_p \rangle$ 的平均干涉強(qiáng)度。

Mixture State的本質(zhì)

我們考慮這樣一個(gè)例子：假設(shè)我們有兩組數(shù)量相等的粒子，其中一組的量子態(tài)為 $∣ψA?|\psi_A \rangle$ ，另一組的量子態(tài)為 $∣ψB?|\psi_B \rangle$ ，現(xiàn)在我們把這兩組粒子混合起來，那么如何描述混合后的這些粒子的量子態(tài)呢？

Pure State Description：這些粒子的量子態(tài)要么是 $∣ψA?|\psi_A \rangle$ ，要么是 $∣ψB?|\psi_B \rangle$ ，但對(duì)任一粒子，在觀察它所處的量子態(tài)前我們并不知道它處于什么量子態(tài)；
Mixture State Description：這些粒子處于 $12∣ψA??ψA∣+12∣ψB??ψB∣\frac{1}{2}|\psi_A \rangle \langle \psi_A |+\frac{1}{2}|\psi_B \rangle \langle \psi_B |$ 這個(gè)mixture state中；

首先，這兩種描述是完全等價(jià)的；其次，只有pure state才是客觀存在的，mixture state只是一種數(shù)學(xué)工具，用來描述具有不完全信息的量子態(tài)；最后，mixture state的這種描述方式在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中一般被稱為hierarchical model，因此Mixture State Description屬于Quantum Bayesianism。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI544 量子光学7 补充：Density Operator的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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