UA MATH524 復變函數14 Laurent級數

• • Laurent級數的推導
  • Laurent級數的系數的計算公式

Laurent級數其實是冪級數的推廣，我們可以回顧一下冪級數展開的條件：假設$f$是$D$上的全純函數，考慮$z_0\in D$，且$B(z_0,R)?D$，則$f$在$B(z_0,R)$中存在冪級數展開，
$$f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{a}_k(z?z_0{)}^k$$

并且
$$a_k=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{(w?z_0{)}^{k+1}}dw$$

其中$\gamma =\{w:|w?z_0|=r\}$方向為正，$r<R$。如果$f$是平滑函數，則$$a_k=\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}$$

冪級數展開的缺陷是$B(z_0,R)$內不能存在pole或者本性奇點，而Laurent級數作為冪級數的推廣，可以避開這個缺陷，下面介紹Laurent級數的概念。

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Laurent級數的推導

結論 假設$f$在$\stackrel{°}{B}(z_0,R)$上解析，則$f$在Annulus $B(z_0,R)?\bar{B}(z_o,r)$上存在Laurent級數（其中$r<R$），
$$f(z)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{a}_n(z?z_0{)}^n$$

通常$n<0$的部分只包含有限項，比如當$z_0$是$f$的$m$階pole時，Laurent級數為
$$f(z)=\underset{\text{principal?part}}{\frac{c_0}{(z?z_0{)}^m}+?+\frac{c_{m?1}}{z?z_0}}+c_m+c_{m+1}(z?z_0)+?$$

推導 假設$f$在$\stackrel{°}{B}(z_0,R)$上解析，考慮Annulus $B(z_0,R)?\bar{B}(z_o,r)$，其中$r<R$，則$f$可以分解為
$$f(z)=f_1(z)+f_2(z)$$

其中$f_1(z)$在$B(z_0,R)$上解析，$f_2(z)$在$\{z:|z?z_0|>r\}$上解析，根據上述冪級數的性質，$f_1$存在冪級數展開
$$f_1(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{a}_k(z?z_0{)}^k,?z\in B(z_0,R)$$

$f_2$也存在冪級數展開
$$f_2(z)=\sum _{k=1}^{+\infty }{b}_k(z?z_0{)}^{?k},?|z?z_0|>r$$

$f_2$的冪級數展開需要下面的引理：

假設$F$在$\{z:|z?z_0|>R\}\cup \{\infty \}$上解析，則
$$F(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{c}_n(z?z_0{)}^{?n}$$

這個引理的驗證比較簡單，令$y=\frac{1}{z?z_0}$，則$F(y)$在$B(0,1/R)$上解析，所以用冪級數展開的性質，$F$可以表示為
$$\sum _{n=0}^{+\infty }{c}_n{y}^n=\sum _{n=0}^{+\infty }{c}_n(z?z_0{)}^{?n}$$

其中
$$c_n=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_0|=s,r<s<R}F(w)(w?z_0{)}^{n?1}dw$$

Laurent級數的系數的計算公式

Laurent級數的系數的計算公式為
$$a_n=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_0|=s,r<s<R}\frac{f(w)}{(w?z_0{)}^{n+1}}dw,n=0,\pm 1,\pm 2,?$$

驗證：

如上圖，取$r<r_1<|z?z_0|<R_1<R$，假設
$$\Gamma =\{z:|z?z_0|=R_1\},\gamma =\{z:|z?z_0|=r_1\}$$

前者方向為逆時針，后者為順時針，根據Cauchy公式，
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(w)}{w?z}dw+\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi$$

因為$|\frac{z?z_0}{w?z_0}|<1$，所以在第一個積分中，
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{w?z}& =\frac{1}{(w?z_0)?(z?z_0)}\\ & =\frac{1}{w?z_0}\frac{1}{1?\frac{z?z_0}{w?z_0}}\\ & =\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(z?z_0{)}^n}{(w?z_0{)}^{n+1}}\end{array}$$

類似地，
$$\frac{1}{\xi ?z}=?\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(\xi ?z_0{)}^n}{(z?z_0{)}^{n+1}}$$

代入到$f(z)$的表達式中，
$$\begin{array}{rl}f(z)& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }f(w)\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(z?z_0{)}^n}{(w?z_0{)}^{n+1}}dw?\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }f(\xi )\left(?\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(\xi ?z_0{)}^n}{(z?z_0{)}^{n+1}}\right)d\xi \\ & =\sum _{n=0}^{+\infty }(z?z_0{)}^n\left[\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(w)}{(w?z_0{)}^{n+1}}dw\right]+\sum _{n=0}^{+\infty }(z?z_0{)}^{?n?1}\left[\frac{1}{2\pi i}{\int }_{?\gamma }f(\xi )(\xi ?z_0{)}^{n}d\xi \right]\end{array}$$

綜上，系數為
$$a_n=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_0|=s,r<s<R}\frac{f(w)}{(w?z_0{)}^{n+1}}dw,n=0,\pm 1,\pm 2,?$$

其中$\{w:|w?z_0|=s\}$沿逆時針方向。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH524 复变函数14 Laurent级数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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