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UA OPTI544 量子光学11 Maxwell-Bloch方程

發布時間：2025/4/14 50 豆豆

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UA OPTI544 量子光學11 Maxwell-Bloch方程

- Maxwell-Bloch方程的推導
- Maxwell-Bloch方程的Steady State
- - 光強的表達式

Maxwell-Bloch方程的推導

在光學的semi-classical理論中，我們用Maxwell方程描述場，用量子力學描述介質粒子，為了讓理論自洽，我們需要建立場對粒子的作用（通過interaction potential與Hamiltonian建立薛定諤方程）以及粒子對場的反饋。在前面的推導中，我們一直用的2-level system approximation討論粒子，這一講我們延續這個思路，推導2-level system對場的影響，即Maxwell-Bloch方程。

第一步 場與SVEA
假設場的表達式為
$E?(z,t)=?^E(z,t)e?i(wt?kz)\vec E (z,t)=\hat \epsilon \mathcal{E}(z,t)e^{-i(wt-kz)}$

$?^\hat \epsilon$ 是單位向量，代表場的偏振方向；
$E(z,t)\mathcal{E}(z,t)$ 代表wavepacket envelope；
$e^{-i(wt-kz)}$ 代表oscillation；
場的傳播方向為 $+ z$ 方向；

引入Slowly-Varying Envelope Approximation（SVEA）： $E\mathcal E$ 在時空中為平滑函數，且滿足
${∣?E?z∣<<k∣E∣,∣?E?t∣<<w∣E∣∣?2E?z2∣<<k∣?E?z∣,∣?2E?t2∣<<w∣?E?t∣\begin{cases} |\frac{\partial \mathcal E}{\partial z}|<<k|\mathcal E|, |\frac{\partial \mathcal E}{\partial t}|<<w|\mathcal E| \\ |\frac{\partial^2 \mathcal E}{\partial z^2}|<<k |\frac{\partial \mathcal E}{\partial z}|, |\frac{\partial^2 \mathcal E}{\partial t^2}|<<w |\frac{\partial \mathcal E}{\partial t}|\end{cases}$

除ultrafast laser外的所有情形基本上都可以用這個近似。

第二步 Macroscopic Polarization Density
電極化向量為
$N?p?^?=N(p?12?a2a1??+p?21?a1a2??)=p?12ρ21e?i(wt?kz)+p?21ρ12ei(wt?kz)N \langle \hat{\vec p} \rangle = N(\vec p_{12} \langle a_2a_1^* \rangle+\vec p_{21}\langle a_1a_2^* \rangle)=\vec p_{12}\rho_{21}e^{-i(wt-kz)}+\vec p_{21}\rho_{12} e^{i(wt-kz)}$

根據這個式子，Physical dipole為
$2Re[p?12ρ21e?i(wt?kz)]2Re[\vec p_{12}\rho_{21}e^{-i(wt-kz)}]$

記 $P?=2p?12ρ21e?i(wt?kz)\vec P=2\vec p_{12}\rho_{21}e^{-i(wt-kz)}$ ，代入 $p?12\vec p_{12}$ 的表達式，記 $μ?=p?12??^?\mu^*=\vec p_{12} \cdot \hat \epsilon^*$ ，
$P?=2Nμ?ρ21e?i(wt?kz)\vec P = 2N\mu^*\rho_{21}e^{-i(wt-kz)}$

第三步 波動方程
根據Maxwell方程，
$(?2?z2?1c2?2?t2)E?(z,t)=1?0c2?2?t2P?(z,t)\left( \frac{\partial^2 }{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec E(z,t)=\frac{1}{\epsilon_0c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec P(z,t)$

代入場與電極化的表達式可得
$(??z+1c??t)E(z,t)=ik?0Nμ?ρ21\left( \frac{\partial }{\partial z} + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} \right)\mathcal E(z,t)=\frac{ik}{\epsilon_0}N\mu^*\rho_{21}$

綜上，結合OBE與這個微分方程，我們可以得到wavepacket與Bloch Variables的微分方程組，稱這個方程組為Maxwell-Bloch方程：
${(??z+1c??t)E(z,t)=ik2?0Nμ?(u?iv)u˙=?βu+Δv+Im[χ]wv˙=Δu?βv+Re[χ]ww˙=?Im[χ]u?Re[χ]v?1+wΓ1\begin{cases}\left( \frac{\partial }{\partial z} + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} \right)\mathcal E(z,t)=\frac{ik}{2\epsilon_0}N\mu^*(u-iv ) \\ \dot u = -\beta u+\Delta v+Im[\chi]w \\ \dot v = \Delta u-\beta v +Re[\chi]w \\ \dot w = -Im[\chi] u - Re[\chi] v -\frac{1+w}{\Gamma_1}\end{cases}$

Maxwell-Bloch方程的Steady State

所以Envelope的解為
$E(z)=E0eaw2ze?iδw2z\mathcal E(z)=\mathcal E_0e^{\frac{aw}{2}z}e^{-i \frac{\delta w}{2}z}$

與經典電動力學中field $e^{-n_Ikz}e^{in_Rkz}$ 對比可得折射率的表達式為
${nI=?aw2k=?Nw2kσ(Δ)nR=1?δw2k=1?ΔβNw2kσ(Δ)\begin{cases} n_I=-\frac{aw}{2k}=-\frac{Nw}{2k}\sigma(\Delta) \\ n_R= 1-\frac{\delta w}{2k} = 1-\frac{\Delta }{\beta} \frac{Nw}{2k}\sigma(\Delta)\end{cases}$

光強的表達式

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI544 量子光学11 Maxwell-Bloch方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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