抛硬币 直到连续出现两次字为止
題目：
[plain]?view plaincopy上面這個(gè)題目我第一次見到是在pongba的TopLanguage的一次討論上，提出問題的人為Shuo Chen，當(dāng)時(shí)我給出了一個(gè)解法，自認(rèn)為已經(jīng)相當(dāng)簡(jiǎn)單了，先來(lái)考慮一下拋硬幣的過程：首先先拋一枚硬幣，如果是花，那么需要重頭開始；如果是字，那么再拋一枚硬幣，新拋的這枚如果也是字，則游戲結(jié)束，如果是花，那么又需要重頭開始。根據(jù)這個(gè)過程，設(shè)拋硬幣的期望次數(shù)為T，可以得到關(guān)系
T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T)
解方程可得到 T = 6. 由于上面這個(gè)方法只能得到期望，而無(wú)法得到方差以及具體某個(gè)事件的概率，后來(lái)我又仔細(xì)分析了一下，推出了概率生成函數(shù)為（推導(dǎo)的過程暫時(shí)略過，后面你會(huì)看到一個(gè)更一般、更簡(jiǎn)單的推導(dǎo)）
于是可以算出方差 V = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = 22。將G(z)根據(jù)Rational Expansion Theorem [CMath 7.3]展開，可以得到需要拋n次硬幣的概率為
其中Fn是Fibonacci數(shù)列的第n項(xiàng)。到這里，我覺得這個(gè)問題似乎已經(jīng)完全解決了，直到昨天看到Matrix67的牛B帖。在此帖中Matrix67大牛用他那神一般的數(shù)學(xué)直覺一下將需要連續(xù)拋出n個(gè)字的一般情形給解決了，而且得出的結(jié)果相當(dāng)簡(jiǎn)潔：Tn = 2^(n+1) - 2，其中Tn為首次出現(xiàn)連續(xù)的n個(gè)字的期望投擲數(shù)。這也給了我一些啟發(fā)，我試著將上面的過程進(jìn)行推廣，居然得到一個(gè)簡(jiǎn)單得出人意料的解法（甚至比上面n=2的推導(dǎo)過程還簡(jiǎn)單）。這個(gè)解法的關(guān)鍵在于下面這個(gè)遞推關(guān)系
Tn = Tn-1 + 1 + 0.5 * Tn
也即是有?Tn = 2 * Tn-1 + 2。由于 T1 = 2，因此可以得到?Tn = 2^(n+1) – 2。上面的遞推關(guān)系是怎么來(lái)的呢，一個(gè)直觀的理解是這樣的：首先先拋擲Tn-1次，得到連續(xù)的n-1個(gè)字，然后再拋一次，若是字，則游戲結(jié)束；否則需要重頭開始，也就是說又需要 Tn 次。
期望投擲次數(shù)已經(jīng)得出來(lái)了，但是我們還想知道方差、恰好需要投擲 m 次的概率等其它一些更具體的性質(zhì)。為了方便理解概率的分布情況，我先用程序生成了一個(gè)概率表如下所示。在下表中，第n行、第m列的元素為 Pnm，表示首次出現(xiàn)連續(xù)n個(gè)字的投擲數(shù)為m的概率。
| 1/2 | 1/4 | 1/8 | 1/16 | 1/32 | 1/64 | 1/128 | 1/256 | 1/512 | 1/1024 |
| 0 | 1/4 | 1/8 | 2/16 | 3/32 | 5/64 | 8/128 | 13/256 | 21/512 | 34/1024 |
| 0 | 0 | 1/8 | 1/16 | 2/32 | 4/64 | 7/128 | 13/256 | 24/512 | 44/1024 |
| 0 | 0 | 0 | 1/16 | 1/32 | 2/64 | 4/128 | 8/256 | 15/512 | 29/1024 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1/32 | 1/64 | 2/128 | 4/256 | 8/512 | 16/1024 |
仔細(xì)觀察上表，你發(fā)現(xiàn)什么有趣的性質(zhì)沒？如果忽略掉分母的話，那么第n行恰好是一個(gè)n階Fibonacci數(shù)列。例如可以考查各行的最后一列，有
第一行：1 = 1
第二行：34 = 21 + 13
第三行：44 = 24 + 13 + 7
第四行：29 = 15 + 8 + 4 + 2
第五行：16 = 8 + 4 + 2 + 1 + 1
怎么解釋這個(gè)現(xiàn)象呢？我們?cè)賮?lái)仔細(xì)考慮一下擲硬幣的過程，為方便在下文中用1表示字，用0表示花，于是我們的目標(biāo)是要恰好使用m次投擲，得到連續(xù)的n個(gè)1.
若第一次的結(jié)果為 0，那么剩下的任務(wù)就是恰好使用m-1次投擲得到到連續(xù)的n個(gè)1.
若前兩次的結(jié)果為 10, 那么剩下的任務(wù)就是恰好使用m-2次投擲得到到連續(xù)的n個(gè)1.
若前三次的結(jié)果為 110, 那么剩下的任務(wù)就是恰好使用m-3次投擲得到到連續(xù)的n個(gè)1.
若前四次的結(jié)果為 1110, 那么剩下的任務(wù)就是恰好使用m-4次投擲得到到連續(xù)的n個(gè)1.
…
若前n-1次的結(jié)果為 1…10(n-2個(gè)1), 那么剩下的任務(wù)就是恰好使用1次投擲得到到連續(xù)的n個(gè)1.
你或許已經(jīng)看出來(lái)了，這里實(shí)際上是在枚舉首次出現(xiàn)0的位置。由于首個(gè)0出現(xiàn)在位置i的概率為1/2^i，于是得到Pnm的遞推公式
于是根據(jù)初始條件：，，我們可以推出所有事件的概率。現(xiàn)在來(lái)推一下概率生成函數(shù)，設(shè)需要得到連續(xù)n個(gè)1的投擲數(shù)的概率生成函數(shù)為Gn(z)，于是有
根據(jù)上面的遞推公式和初始條件，可以得到
于是可解得
分別代入 n = 1 和 n = 2 可以得到
以我們前面得到的結(jié)果一致，這證明這個(gè)概率生成函數(shù)的確是正確的。有了生成函數(shù)后，我們又多了一種計(jì)算期望的方式
而方差也可以非常容易的得到
至此，這個(gè)拋硬幣的問題終于應(yīng)該算是被完全解決了，完。
題目： 一個(gè)骰子，6面，1個(gè)面是 1， 2個(gè)面是2， 3個(gè)面是3， 問平均擲多少次能使1、2、3都至少出現(xiàn)一次。
方法： 面對(duì)面試概率題幾乎屢試不爽的分叉樹遞歸列方程法。
這是一個(gè)求數(shù)學(xué)期望的問題，最終是求1，2，3出現(xiàn)至少一次的最短長(zhǎng)度的期望。
這樣分叉樹的每個(gè)節(jié)點(diǎn)是一個(gè)期望狀態(tài)，而每個(gè)分叉是一次投擲結(jié)果。將后續(xù)期望出現(xiàn)1、2、3各至少一次的情形記作L123（即題目所求），將后續(xù)期望出現(xiàn)1、2各至少一次（3無(wú)關(guān)）情形記作L12，而1至少一次（2，3無(wú)關(guān)）情形L1，其余數(shù)值符號(hào)類推，則樹結(jié)構(gòu)如下（列出4級(jí)結(jié)構(gòu)已經(jīng)足夠）：
| 第一級(jí)（樹根） | 第二級(jí) | 第三級(jí) | 第四級(jí)別 |
| L123 | 擲1->L23 | 擲1->L23 | 同狀態(tài) |
| ? | ? | 擲2->L3 | 根據(jù)投擲結(jié)果，或繼續(xù)期待L3，或已經(jīng)達(dá)到目標(biāo) |
| ? | ? | 擲3->L2 | 根據(jù)投擲結(jié)果，或繼續(xù)期待L2，或已經(jīng)達(dá)到目標(biāo) |
| ? | 擲2->L13 | 擲1->L3 | 根據(jù)投擲結(jié)果，或繼續(xù)期待L3，或已經(jīng)達(dá)到目標(biāo) |
| ? | ? | 擲2->L13 | 同狀態(tài) |
| ? | ? | 擲3->L1 | 根據(jù)投擲結(jié)果，或繼續(xù)期待L1，或已經(jīng)達(dá)到目標(biāo) |
| ? | 擲3->L12 | 擲1->L2 | 根據(jù)投擲結(jié)果，或繼續(xù)期待L2，或已經(jīng)達(dá)到目標(biāo) |
| ? | ? | 擲2->L1 | 根據(jù)投擲結(jié)果，或繼續(xù)期待L1，或已經(jīng)達(dá)到目標(biāo) |
| ? | ? | 擲3->L12 | 同狀態(tài) |
接下來(lái)，就是要排出方程，因?yàn)橐还?個(gè)未知數(shù)，如果排出7個(gè)線性方程就能解決問題。
這方程組里的未知數(shù)對(duì)應(yīng)上述的狀態(tài)，而其數(shù)值則是一個(gè)對(duì)長(zhǎng)度（投擲次數(shù)）的數(shù)學(xué)期望。
根據(jù)這個(gè)樹狀結(jié)構(gòu)和其中的遞歸關(guān)系，這個(gè)方程組就是：
L123?= p1?(L23+ 1) +?p2?(L13+1) + p3?(L12?+ 1) = p1?L23?+p2?L13+?p3?L12?+ 1
（以這個(gè)L123為例，解釋，投擲1的概率是p1而由此得到的結(jié)果是需要期待后續(xù)2和3各至少出現(xiàn)一次，于是長(zhǎng)度期望是L23+ 1，加1是因?yàn)橥稊S了一次，亦即即增進(jìn)一級(jí)）
L23?=?p1?L23?+p2?L3+?p3?L2?+ 1
L13?=?p1?L3?+p2?L13+?p3?L1?+ 1
L12?=?p1?L2?+p2?L1+?p3?L12?+ 1
L1?=p1?+?p2?L1+?p3?L1?+ 1
（這里實(shí)際上是?L1?=p1?·1 + p2?(L1+1) + p3?(L1?+1)?=p2?L1+?p3?L1?+ 1，因?yàn)閷?duì)L1情形，如果投了1就目的達(dá)到終止了）
L2?=p2?+?p1?L2?+??p3?L2?+ 1
L3?=p3?+?p1?L3?+p2?L3+ 1
其中?p1，p2?和?p3分別是擲出1，2和3的概率，即1/6，1/3，1/2。
于是求解這個(gè)方程，得到：
L1?= 6，?L2?= 3，?L3?= 2
L12?= 7，?L13?= 13/2，?L23?= 19/56
L123?=?219/30 = 7.3?259/36 ~= 7.14
故以上如果沒有計(jì)算錯(cuò)誤，該題結(jié)果是，平均擲7.3?約7.14次可出現(xiàn)這些面值各至少一次。
（轉(zhuǎn)自：http://www.cnblogs.com/atyuwen/archive/2010/09/12/coin.html）
問題：
一個(gè)骰子，6面，1個(gè)面是 1， 2個(gè)面是2， 3個(gè)面是3， 問平均擲多少次能使1,2,3都至少出現(xiàn)一次？
一共有三種方法可以解此問題：概率公式、分叉樹遞歸列方程法、指示器變量法。
1. 方法一：概率公式
化為概率的表示是：
1發(fā)生 的概率是1/6,? 2發(fā)生的概率是2/6,? 3發(fā)生的概率是3/6，求1,2,3至少出現(xiàn)一次的投擲次數(shù)的期望。
思路：
第一二次肯定不可能出現(xiàn)這種情況
第x(x?>?2)次三個(gè)都出現(xiàn)的情況分三種（x?^?y?表示?x?的?y?次方）
1：第x次出現(xiàn)?1，那么前面出現(xiàn)的必然是?2?和?3?，且至少出現(xiàn)一次???
???出現(xiàn)1的概率為?1?/?6，前面x-1次不出現(xiàn)1的概率為(1?-?1?/?6)?^?(x?-?1)，但是其中包含全是?2?和全是?3?的情況，去掉全?2?的概率?(1?/?2)?^?(x?-?1)，全部為3的概率(1?/?3)?^?(x?-?1)，那么情況?1?的概率為?((1?-?1?/?6)?^?(x?-?1)?-?(1?/?2)?^?(x?-?1)?-?(1?/?3)?^?(x?-?1))?*?(1?/?6)
2：第x次出現(xiàn)2，那么前面出現(xiàn)的必然是?1?和?3?，且至少出現(xiàn)一次
???同樣，概率為?((1?-?1?/?3)?^?(x?-?1)?-?(1?/?2)?^?(x?-?1)?-?(1?/?6)?^?(x?-?1))?*?(1?/?3)
3：第x次出現(xiàn)3，那么前面出現(xiàn)的必然是?1?和?2?，且至少出現(xiàn)一次
???同樣，概率為?((1?-?1?/?2)?^?(x?-?1)?-?(1?/?3)?^?(x?-?1)?-?(1?/?6)?^?(x?-?1))?*?(1?/?2)
p(x)就為上面三種情況的和
那么，根據(jù)期望公式，平均值就等于從x?=?3?到?n（無(wú)窮）求(x?*?p(x))的和
利用錯(cuò)位相減法計(jì)算極限值
到此可以算出期望為7.3。
2. 方法二：分叉樹遞歸列方程法
方法： 面對(duì)面試概率題幾乎屢試不爽的分叉樹遞歸列方程法。
這是一個(gè)求數(shù)學(xué)期望的問題，最終是求1，2，3出現(xiàn)至少一次的最短長(zhǎng)度的期望。
這樣分叉樹的每個(gè)節(jié)點(diǎn)是一個(gè)期望狀態(tài)，而每個(gè)分叉是一次投擲結(jié)果。將后續(xù)期望出現(xiàn)1、2、3各至少一次的情形記作L123（即題目所求），將后續(xù)期望出現(xiàn)1、2各至少一次（3無(wú)關(guān)）情形記作L12，而1至少一次（2，3無(wú)關(guān)）情形L1，其余數(shù)值符號(hào)類推，則樹結(jié)構(gòu)如下（列出4級(jí)結(jié)構(gòu)已經(jīng)足夠）：
| 第一級(jí)（樹根） | 第二級(jí) | 第三級(jí) | 第四級(jí)別 |
| L123 | 擲1->L23 | 擲1->L23 | 同狀態(tài) |
| ? | ? | 擲2->L3 | 根據(jù)投擲結(jié)果，或繼續(xù)期待L3，或已經(jīng)達(dá)到目標(biāo) |
| ? | ? | 擲3->L2 | 根據(jù)投擲結(jié)果，或繼續(xù)期待L2，或已經(jīng)達(dá)到目標(biāo) |
| ? | 擲2->L13 | 擲1->L3 | 根據(jù)投擲結(jié)果，或繼續(xù)期待L3，或已經(jīng)達(dá)到目標(biāo) |
| ? | ? | 擲2->L13 | 同狀態(tài) |
| ? | ? | 擲3->L1 | 根據(jù)投擲結(jié)果，或繼續(xù)期待L1，或已經(jīng)達(dá)到目標(biāo) |
| ? | 擲3->L12 | 擲1->L2 | 根據(jù)投擲結(jié)果，或繼續(xù)期待L2，或已經(jīng)達(dá)到目標(biāo) |
| ? | ? | 擲2->L1 | 根據(jù)投擲結(jié)果，或繼續(xù)期待L1，或已經(jīng)達(dá)到目標(biāo) |
| ? | ? | 擲3->L12 | 同狀態(tài) |
接下來(lái)，就是要排出方程，因?yàn)橐还?個(gè)未知數(shù)，如果排出7個(gè)線性方程就能解決問題。
這方程組里的未知數(shù)對(duì)應(yīng)上述的狀態(tài)，而其數(shù)值則是一個(gè)對(duì)長(zhǎng)度（投擲次數(shù)）的數(shù)學(xué)期望。
根據(jù)這個(gè)樹狀結(jié)構(gòu)和其中的遞歸關(guān)系，這個(gè)方程組就是：
L123?= p1?(L23+ 1) +?p2?(L13+1) + p3?(L12?+ 1) = p1?L23?+p2?L13+?p3?L12?+ 1
（以這個(gè)L123為例，解釋，投擲1的概率是p1而由此得到的結(jié)果是需要期待后續(xù)2和3各至少出現(xiàn)一次，于是長(zhǎng)度期望是L23+ 1，加1是因?yàn)橥稊S了一次，亦即即增進(jìn)一級(jí)）
L23?=?p1?L23?+p2?L3+?p3?L2?+ 1
L13?=?p1?L3?+p2?L13+?p3?L1?+ 1
L12?=?p1?L2?+p2?L1+?p3?L12?+ 1
L1?=p2?L1+?p3?L1?+ 1
（這里實(shí)際上是?L1?=p1?·1 + p2?(L1+1) + p3?(L1?+1)?=p2?L1+?p3?L1?+ 1，因?yàn)閷?duì)L1情形，如果投了1就目的達(dá)到終止了）
L2?=?p1?L2?+?p3?L2?+ 1
L3?=?p1?L3?+p2?L3+ 1
其中p1，p2和p3分別是擲出1，2和3的概率，即1/6，1/3，1/2。
于是求解這個(gè)方程，得到：
L1?= 6，?L2?= 3，?L3?= 2
L12?= 7，?L13?= 13/2，?L23?= 19/5
L123?=?219/30 = 7.3?
平均擲7.3 次可出現(xiàn)這些面值各至少一次。
3. 方法三：指示器變量法
【另一解法】感謝4樓aaaxingruiaaa同學(xué)提供的答案（指示器變量法），整理如下：
定義隨機(jī)變量Xn，其可能值為0或1，其值為1表示“前n次擲骰子，1，2，3沒能都至少出現(xiàn)一次”的事件，其值為0表示這個(gè)事件沒有發(fā)生，即“前n次擲骰子，1，2，3各至少出現(xiàn)一次”。
令pn為“擲n次骰子，1，2，3沒能都至少出現(xiàn)一次”的概率，所以顯然pn?= Pr{Xn=1}，于是pn?= 1·Pr{Xn=1} + 0·Pr{Xn=1} = E[Xn]，即這個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。
令隨機(jī)變量X表示1，2，3剛好全部出現(xiàn)過需要的投擲次數(shù)。可見題目要求的就是E[X]。
關(guān)鍵等式：X =?Sigma(n=0 to?Inf;?Xn) （這里Sigma是求和號(hào)，求和范圍是n從0到無(wú)窮大）
說明一下，等式兩邊都是隨機(jī)變量，假設(shè)對(duì)于某個(gè)隨機(jī)實(shí)例（例如，這里指一次具體的投擲序列），其對(duì)應(yīng)事件是：“投了K次恰好1，2，3都出現(xiàn)了”，于是等式左邊顯然等于K；而等式右邊，對(duì)于n < K，由于這些項(xiàng)的對(duì)應(yīng)定義事件發(fā)生了（即1，2，3沒能出現(xiàn)），所以他們的實(shí)例值是1，而對(duì)于n?K，則由于對(duì)應(yīng)定義事件都沒發(fā)生，實(shí)例值為0，可見這個(gè)和也是K。故兩側(cè)相等。（為了達(dá)到這個(gè)相等關(guān)系，可以看出需要把X0包含在內(nèi)的必要性）
值得注意的是（但對(duì)于解這道題也可以不去注意，但注意一下有利于比較深入地理解），對(duì)n < 3，Xn顯然恒為1。而對(duì)于n?3，這些隨機(jī)變量不是獨(dú)立的。他們的相關(guān)性是不容易求出的，唯一容易知道的是，當(dāng)序列中一個(gè)項(xiàng)為0時(shí)，其后的項(xiàng)均為0。好在對(duì)于這題我們不需要擔(dān)憂這個(gè)相關(guān)性。
由于數(shù)學(xué)期望的加性與隨機(jī)變量的相關(guān)性無(wú)關(guān)（這是數(shù)學(xué)期望一個(gè)很令人高興的性質(zhì)），所以即便這樣，E[X]也能容易求出：
E[X] =?Sigma(n=0 to Inf; E[Xn]) =?Sigma(n=0 to?Inf;?pn)
pn的比較直觀的求法也由aaaxingruiaaa同學(xué)提供了，即所謂容斥原理。稍微解釋一下，由于pn考慮的是n次投擲三者沒有全部出現(xiàn)，于是就是其中兩者出現(xiàn)或僅一者出現(xiàn)。假設(shè)單次投擲1，2和3出現(xiàn)的概率分別為：r1，r2和r3。于是(r1+r2)n表征n次投擲只出現(xiàn)1或2的概率，這其中包括了出現(xiàn)全1和全2的情形，于是求pn可由這樣的項(xiàng)求和并剔除重復(fù)計(jì)算的單面值情形，于是：
pn?= (r1+r2)n+ (r1+r3)n+ (r2+r3)n-r1n-r2n-r3n，當(dāng)n > 0；?而p0?= 1 （由定義；同時(shí)也可以檢驗(yàn)看出，這個(gè)pn在n為1和2的時(shí)候都是1）
于是由等比級(jí)數(shù)（等比數(shù)列求和）公式：
E[X] =?1 + Sigma(n=1 to Inf; (r1+r2)n+ (r1+r3)n+ (r2+r3)n-r1n-r2n-r3n= 1 + (1 -?r3) /?r3?+ (1 -?r2) /?r2?+ (1 -?r1) /?r1-?r1?/ (1 -?r1) -?r2?/ (1 -r2) -r3?/ (1 -?r3) = 7.3
http://blog.csdn.net/quanben/article/details/6918209
假設(shè)有一個(gè)硬幣，拋出字（背面）和花（正面）的概率都是0.5，而且每次拋硬幣與前次結(jié)果無(wú)關(guān)。現(xiàn)在做一個(gè)游戲，連續(xù)地拋這個(gè)硬幣，直到連續(xù)出現(xiàn)兩次字為止，問平均要拋多少次才能結(jié)束游戲？注意，一旦連續(xù)拋出兩個(gè)“字”向上游戲就結(jié)束了，不用繼續(xù)拋。
上面這個(gè)題目我第一次見到是在pongba的TopLanguage的一次討論上，提出問題的人為Shuo Chen，當(dāng)時(shí)我給出了一個(gè)解法，自認(rèn)為已經(jīng)相當(dāng)簡(jiǎn)單了，先來(lái)考慮一下拋硬幣的過程：首先先拋一枚硬幣，如果是花，那么需要重頭開始；如果是字，那么再拋一枚硬幣，新拋的這枚如果也是字，則游戲結(jié)束，如果是花，那么又需要重頭開始。根據(jù)這個(gè)過程，設(shè)拋硬幣的期望次數(shù)為T，可以得到關(guān)系：
T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T)?
解方程可得到 T = 6。
或者根據(jù)公式，需要連續(xù)拋出n個(gè)字的一般情形，結(jié)果相當(dāng)簡(jiǎn)潔：Tn = 2^(n+1) - 2，其中Tn為首次出現(xiàn)連續(xù)的n個(gè)字的期望投擲數(shù)。
公式證明如下：
方法一：
設(shè)出現(xiàn)連續(xù)k次正面的期望是a[k]
則出現(xiàn)連續(xù)k+1次正面的期望為a[k+1]
在出現(xiàn)連續(xù)k次正面后，有下面幾種情況：
i)下一個(gè)是正面，概率1/2，總次數(shù)a[k]+1;
ii)下一個(gè)是反面，概率1/2，則接下來(lái)平均仍需a[k+1],總次數(shù)a[k]+1+a[k+1]。
因此a[k+1]=(a[k]+1)/2+(a[k]+1+a[k+1])/2
整理得(a[k+1]+2)/(a[k]+2)=2
a[n]=(a[1]+2)*2^(n-1)-2
顯然a[1]=2;a[n]=2^(n+1)-2
方法二：
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設(shè)想有這么一家賭場(chǎng)，賭場(chǎng)里只有一個(gè)游戲：猜正反。游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，玩家下注 x 元錢，賭正面或者反面；然后莊家拋出硬幣，如果玩家猜錯(cuò)了他就會(huì)輸?shù)暨@ x 元，如果玩家猜對(duì)了他將得到 2x 元的回報(bào)（也就是凈賺 x 元）。
讓我們假設(shè)每一回合開始之前，都會(huì)有一個(gè)新的玩家加入游戲，與仍然在場(chǎng)的玩家們一同賭博。每個(gè)玩家最初都只有 1 元錢，并且他們的策略也都是相同的：每回都把當(dāng)前身上的所有錢都押在正面上。運(yùn)氣好的話，從加入游戲開始，莊家拋擲出來(lái)的硬幣一直是正面，這個(gè)玩家就會(huì)一直贏錢；如果連續(xù) n 次硬幣都是正面朝上，他將會(huì)贏得 2^n 元錢。這個(gè) 2^n 就是賭場(chǎng)老板的心理承受極限——一旦有人贏到了 2^n 元錢，賭場(chǎng)老板便會(huì)下令停止游戲，關(guān)閉賭場(chǎng)。讓我們來(lái)看看，在這場(chǎng)游戲中存在哪些有趣的結(jié)論。
首先，連續(xù) n 次正面朝上的概率雖然很小，但確實(shí)是有可能發(fā)生的，因此總有一個(gè)時(shí)候賭場(chǎng)將被關(guān)閉。賭場(chǎng)關(guān)閉之時(shí)，唯一賺到錢的人就是賭場(chǎng)關(guān)閉前最后進(jìn)來(lái)的那 n 個(gè)人。每個(gè)人都只花費(fèi)了 1 元錢，但他們卻贏得了不同數(shù)量的錢。其中，最后進(jìn)來(lái)的人贏回了 2 元，倒數(shù)第二進(jìn)來(lái)的人贏回了 4 元，倒數(shù)第 n 進(jìn)來(lái)的人則贏得了 2^n 元（他就是賭場(chǎng)關(guān)閉的原因），他們一共賺取了 2 + 4 + 8 + … + 2^n = 2^(n+1) - 2 元。其余所有人初始時(shí)的 1 元錢都打了水漂，因?yàn)闆]有人挺過了倒數(shù)第 n + 1 輪游戲。
另外，由于這個(gè)游戲是一個(gè)完全公平的游戲，因此賭場(chǎng)的盈虧應(yīng)該是平衡的。換句話說，有多少錢流出了賭場(chǎng)，就該有多少的錢流進(jìn)賭場(chǎng)。既然賭場(chǎng)的錢最終被贏走了 2^(n+1) - 2 元，因此賭場(chǎng)的期望收入也就是 2^(n+1) - 2 元。而賭場(chǎng)收入的唯一來(lái)源是每人 1 元的初始賭金，這就表明游戲者的期望數(shù)量是 2^(n+1) - 2 個(gè)。換句話說，游戲平均進(jìn)行了 2^(n+1) - 2 次。再換句話說，平均拋擲 2^(n+1) - 2 次硬幣才會(huì)出現(xiàn) n 連正的情況。
總結(jié)
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