最近學(xué)習(xí)了算法導(dǎo)輪里B樹(shù)相關(guān)的知識(shí)，在此寫(xiě)一篇博客作為總結(jié)。

?

1.引言

B樹(shù)是為磁盤(pán)或其他直接存取的輔助存儲(chǔ)設(shè)備而設(shè)計(jì)的一種平衡搜索樹(shù)。B樹(shù)類(lèi)似于紅黑樹(shù)，但它與紅黑樹(shù)最大不同之處在于B樹(shù)的節(jié)點(diǎn)可以擁有很多孩子，因此B樹(shù)的高度會(huì)比紅黑樹(shù)小很多，也因此B樹(shù)在磁盤(pán)I/O方面表現(xiàn)要比紅黑樹(shù)好。（對(duì)于磁盤(pán)操作最耗時(shí)的部分在于磁盤(pán)讀寫(xiě)，而每次讀取一個(gè)新的樹(shù)的節(jié)點(diǎn)就必須進(jìn)行一次磁盤(pán)讀取，因此節(jié)點(diǎn)較大、樹(shù)高度較小的B樹(shù)會(huì)進(jìn)行較少的磁盤(pán)I/O操作）

2.B樹(shù)的定義

一顆B樹(shù)的定義如下：

每個(gè)節(jié)點(diǎn)x均有如下屬性：

• n表示存儲(chǔ)在該節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字個(gè)數(shù)
• n個(gè)關(guān)鍵字本身key1、key2……keyn以非降序存放，即key1 <= key2 <= …… <= keyn
• 一個(gè)leaf布爾值表示該節(jié)點(diǎn)是否為葉節(jié)點(diǎn)

每個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)包含了n+1個(gè)孩子，葉節(jié)點(diǎn)沒(méi)有孩子

關(guān)鍵字keyi對(duì)存儲(chǔ)在各子樹(shù)中的關(guān)鍵字范圍加以分割：即比keyi小的元素在其左子樹(shù)，比keyi大的元素在其右子樹(shù)

每個(gè)葉節(jié)點(diǎn)具有相同的深度

每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含的關(guān)鍵字個(gè)數(shù)有上界與下界。我們定義B樹(shù)的最小度數(shù)為t，則除根節(jié)點(diǎn)外的每個(gè)節(jié)點(diǎn)至少有t-1個(gè)關(guān)鍵字，每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有2t-1個(gè)關(guān)鍵字（即每個(gè)節(jié)點(diǎn)最少有t個(gè)孩子，最多有2t個(gè)孩子）（當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)有2t-1個(gè)關(guān)鍵字時(shí)，我們稱它為滿的）。

B樹(shù)的示意圖如下： 上圖是一個(gè)最小度數(shù)為2的B樹(shù)，因此每個(gè)節(jié)點(diǎn)擁有1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)元素，擁有2個(gè)、3個(gè)或4個(gè)孩子，也被稱為2-3-4樹(shù)。 根節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)元素，因此它擁有兩個(gè)孩子；兩個(gè)孩子分別擁有3個(gè)和2個(gè)元素，因此他們分別擁有4個(gè)和3個(gè)孩子。 看到DEF葉節(jié)點(diǎn)位于關(guān)鍵字C與G的中間，表明了關(guān)鍵字對(duì)于存儲(chǔ)在各子樹(shù)中的關(guān)鍵字范圍進(jìn)行了分割，其余同理。

3.B樹(shù)的插入

要講到樹(shù)，就不得不提樹(shù)中關(guān)鍵的插入與刪除操作，這里我們先總結(jié)B樹(shù)的插入操作。 當(dāng)我們往B樹(shù)中插入一個(gè)新的關(guān)鍵字時(shí)，由于B樹(shù)節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字是受到限制的，因此當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字?jǐn)?shù)目為2t-1時(shí)（該節(jié)點(diǎn)是滿的），我們就必須進(jìn)行分裂操作。

分裂節(jié)點(diǎn)

分裂節(jié)點(diǎn)的主要操作為把滿節(jié)點(diǎn)的中間關(guān)鍵字提升至父節(jié)點(diǎn)，把原滿節(jié)點(diǎn)分裂為中間關(guān)鍵字的兩個(gè)左右節(jié)點(diǎn) 其示意圖如下： 對(duì)于某個(gè)非滿的節(jié)點(diǎn)x，若其孩子節(jié)點(diǎn)x.ci為滿的（即孩子節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)目為2t-1)。則把其孩子節(jié)點(diǎn)的中間關(guān)鍵字（S）提升為父節(jié)點(diǎn)（x節(jié)點(diǎn)）的關(guān)鍵字，并把原孩子節(jié)點(diǎn)（x.c節(jié)點(diǎn)）分成兩個(gè)t-1個(gè)關(guān)鍵字的節(jié)點(diǎn)，分別位于中間關(guān)鍵字（S）的左、右。 還有一種比較特殊的情況就是B樹(shù)根的分裂： 分裂是B樹(shù)長(zhǎng)高的唯一途徑，因此分裂是非常重要的。

插入

講完分裂操作在講插入操作就非常簡(jiǎn)單了。插入的時(shí)候我們通過(guò)比較不斷地根據(jù)關(guān)鍵字的值尋找孩子節(jié)點(diǎn)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)一個(gè)滿的節(jié)點(diǎn)時(shí)便分裂，最后找到對(duì)應(yīng)的葉節(jié)點(diǎn)時(shí)根據(jù)關(guān)鍵字的值插入相應(yīng)位置即可。 下面是一個(gè)插入關(guān)鍵字的例子： B樹(shù)的初始狀態(tài)如圖所示，這是一顆最小度數(shù)為3的B樹(shù)，即他的關(guān)鍵字個(gè)數(shù)為2～5個(gè)。 插入關(guān)鍵字B，在根節(jié)點(diǎn)由于（B < G）往進(jìn)入G的左節(jié)點(diǎn)，到達(dá)葉節(jié)點(diǎn)后添加至A與C關(guān)鍵字之間。 插入關(guān)鍵字Q：

在根節(jié)點(diǎn)，由于P < Q 而且 Q < X，進(jìn)入P與X之間的子節(jié)點(diǎn)

發(fā)現(xiàn)該子節(jié)點(diǎn)是滿的，則進(jìn)行分裂，把關(guān)鍵字T上升到父節(jié)點(diǎn)，原子節(jié)點(diǎn)分為RS與UV，分為在T關(guān)鍵字的左右

由于Q < T，于是進(jìn)入T的左子節(jié)點(diǎn)

在RS葉節(jié)點(diǎn)中找到對(duì)應(yīng)位置并加入

插入關(guān)鍵字L：

發(fā)現(xiàn)根節(jié)點(diǎn)是滿的，分裂根節(jié)點(diǎn)，上移P

L < P 進(jìn)入P的左子節(jié)點(diǎn)

G < L < M，進(jìn)入G與M關(guān)鍵字間的節(jié)點(diǎn)

在葉節(jié)點(diǎn)的相應(yīng)位置中插入

插入關(guān)鍵字F：

F < P，進(jìn)入P的左子節(jié)點(diǎn)

F < G，進(jìn)入G的左子節(jié)點(diǎn)

發(fā)現(xiàn)滿的節(jié)點(diǎn)，分裂，上移C

F > C，進(jìn)入C的右子節(jié)點(diǎn)

在葉節(jié)點(diǎn)的相應(yīng)位置中插入

4.B樹(shù)的刪除

講完了B樹(shù)的插入操作，我們?cè)賮?lái)講講B樹(shù)的刪除操作。 對(duì)于刪除操作，我們必須保證每個(gè)節(jié)點(diǎn)在刪除前必須至少有t（最小度數(shù)）個(gè)關(guān)鍵字。 首先我們把要?jiǎng)h除的關(guān)鍵字（假設(shè)為k）分兩種情況：

• 關(guān)鍵字k在葉節(jié)點(diǎn)中：直接刪除
• 關(guān)鍵字k在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)中，分三種情況：
  • k的左子節(jié)點(diǎn)擁有t個(gè)關(guān)鍵字，則把k的左子節(jié)點(diǎn)的最后一個(gè)關(guān)鍵字（假設(shè)為j）上移到父節(jié)點(diǎn)，然后遞歸的刪除j
  • k的右子節(jié)點(diǎn)擁有t個(gè)關(guān)鍵字，則把k的右子節(jié)點(diǎn)的第一個(gè)關(guān)鍵字（假設(shè)為l）上移到父節(jié)點(diǎn)，然后遞歸的刪除l
  • k的左右子節(jié)點(diǎn)都只有t-1個(gè)關(guān)鍵字，則把k下降與左右子節(jié)點(diǎn)合并成一個(gè)擁有2t-1個(gè)關(guān)鍵字的節(jié)點(diǎn)，然后遞歸的刪除k

然后我們?cè)俣x一些在尋找刪除節(jié)點(diǎn)路上的操作：如果在尋找刪除節(jié)點(diǎn)的路上，我們發(fā)現(xiàn)某個(gè)節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字?jǐn)?shù)只有t-1個(gè)關(guān)鍵字，則分兩種情況：

看該節(jié)點(diǎn)的相鄰兄弟節(jié)點(diǎn)是否含有至少t個(gè)關(guān)鍵字，如果是則向相鄰的兄弟節(jié)點(diǎn)“借一個(gè)關(guān)鍵字”（一該節(jié)點(diǎn)的左節(jié)點(diǎn)為例：把左節(jié)點(diǎn)的最后一個(gè)關(guān)鍵字上升至父節(jié)點(diǎn)，然后父節(jié)點(diǎn)位置的節(jié)點(diǎn)下移到關(guān)鍵字個(gè)數(shù)為t-1的節(jié)點(diǎn)上）

如果該節(jié)點(diǎn)相鄰的兄弟節(jié)點(diǎn)都只含有t-1個(gè)關(guān)鍵字，則選擇一個(gè)兄弟節(jié)點(diǎn)合并，并把兩兄弟之間的父節(jié)點(diǎn)下移

下面我們來(lái)看一個(gè)B樹(shù)刪除的例子： B樹(shù)的初始狀態(tài)如圖，這是一顆最小度數(shù)為3的B樹(shù)，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)擁有2～5個(gè)關(guān)鍵字。 刪除F操作：

F < P，進(jìn)入P的左子節(jié)點(diǎn)

C < F < G，進(jìn)入C與G之間的子節(jié)點(diǎn)

在葉節(jié)點(diǎn)中刪除F

刪除M操作：

M < P，進(jìn)入P的左子節(jié)點(diǎn)

在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)中發(fā)現(xiàn)M，查看M的左子節(jié)點(diǎn)JKL，擁有3個(gè)關(guān)鍵字，則把最后一個(gè)關(guān)鍵字L上升至M的位置，遞歸的刪除L

節(jié)點(diǎn)JKL是葉節(jié)點(diǎn)，直接刪除L即可

刪除G操作：

G < P，進(jìn)入P的左子節(jié)點(diǎn)

在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)中發(fā)現(xiàn)G，查看G的左右子節(jié)點(diǎn)均只有2個(gè)關(guān)鍵字（不足最小度數(shù)3個(gè)），下降G關(guān)鍵字并合并其左右子節(jié)點(diǎn)

節(jié)點(diǎn)DEGJK為葉節(jié)點(diǎn)，直接刪除G即可

刪除D操作：

D < P，進(jìn)入P的左子節(jié)點(diǎn)

發(fā)現(xiàn)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)CL只有2個(gè)關(guān)鍵字（不足最小度數(shù)3個(gè)），其兄弟節(jié)點(diǎn)也只有2個(gè)關(guān)鍵字，下降父節(jié)點(diǎn)P，與兄弟節(jié)點(diǎn)一起合并成一個(gè)節(jié)點(diǎn)

由于C < D < L，進(jìn)入C與L間的子節(jié)點(diǎn)

DEJK節(jié)點(diǎn)是葉節(jié)點(diǎn)，直接刪除D即可

刪除B操作：

B < C，進(jìn)入E的左子節(jié)點(diǎn)

發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)AC只有兩個(gè)關(guān)鍵字，其兄弟節(jié)點(diǎn)EJK有三個(gè)關(guān)鍵字，則E上移到父節(jié)點(diǎn)，C下移到子節(jié)點(diǎn)，變?yōu)楣?jié)點(diǎn)ABC

節(jié)點(diǎn)ABC為葉節(jié)點(diǎn)，直接刪除B即可

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/KingIceMou/p/6984141.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法导轮之B树的学习的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。