抽象代數學習筆記（5）運算

“運算”這個名詞大家從小學就應該接觸了，比如“四則運算”等等。不過在那個時候，運算一直是一個很模糊的概念，究竟什么是運算？我們接觸的“加減乘除”為什么都被稱作運算，它們在本質上有相同的地方？

設\(S\)是個非空集合，把\(S×S\)到\(S\)的映射稱之為\(S\)上的二元運算，簡稱為\(S\)上的運算.

和我們之前說的映射一樣，運算的定義離不開集合，因此談論運算一定要說清楚運算是定義在哪個集合上。例如：映射\(f:x/y,(x,y) \in R×R\) 是一個運算，但是\(f:x/y,(x,y) \in I×I\)不是一個運算。

運算有兩個基礎性質：結合律，交換律。

若 \((a*b)*c=a*(b*c)\) ，那么說運算*滿足結合律

若 \(a*b=b*a\) ，那么說運算*滿足交換律

這兩個性質在大家學習初等代數的時候似乎是自然成立的，那是因為，之前接觸的實數集合上的四則運算恰好滿足了這兩個性質。需要指出的是，在廣義的運算上，這兩條性質不一定成立。最簡單的例子就是矩陣乘法不滿足交換律。有些代數系統甚至不滿足結合律，這些非結合代數是代數的一個重要研究領域。

運算定義的那個集合中可能會出現一個比較特殊的元素\(e\)，對于集合\(S\)任意元素\(s\)，有
\[s*e=e*s=e\]
元素\(e\)稱為運算的單位元或者中性元。注意一下，這個元素不一定存在。

另外，還有一個特殊元素叫做零元。零元的概念一般出現在環論中，它的定義是對于集合\(S\)任意元素\(s\)，如果存在元素\(z\),滿足：
\[z*s=s*z=z\]
一個常見的零元是整數乘法中的整數0，對于整數集合中的任意元素\(i\)，都有\(i*0=0*i=0\)。或許，零元的名稱就是這么來的。

到這里，學習抽象代數的預備知識就介紹完了，之后就要向大家介紹群---一個很基本的代數系統。

轉載于:https://www.cnblogs.com/bugsheep/p/7182074.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数学习笔记（5） 运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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