抽象代數(shù)學(xué)習(xí)筆記（5）運(yùn)算

“運(yùn)算”這個(gè)名詞大家從小學(xué)就應(yīng)該接觸了，比如“四則運(yùn)算”等等。不過(guò)在那個(gè)時(shí)候，運(yùn)算一直是一個(gè)很模糊的概念，究竟什么是運(yùn)算？我們接觸的“加減乘除”為什么都被稱作運(yùn)算，它們?cè)诒举|(zhì)上有相同的地方？

設(shè)\(S\)是個(gè)非空集合，把\(S×S\)到\(S\)的映射稱之為\(S\)上的二元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱為\(S\)上的運(yùn)算.

和我們之前說(shuō)的映射一樣，運(yùn)算的定義離不開(kāi)集合，因此談?wù)撨\(yùn)算一定要說(shuō)清楚運(yùn)算是定義在哪個(gè)集合上。例如：映射\(f:x/y,(x,y) \in R×R\) 是一個(gè)運(yùn)算，但是\(f:x/y,(x,y) \in I×I\)不是一個(gè)運(yùn)算。

運(yùn)算有兩個(gè)基礎(chǔ)性質(zhì)：結(jié)合律，交換律。

若 \((a*b)*c=a*(b*c)\) ，那么說(shuō)運(yùn)算*滿足結(jié)合律

若 \(a*b=b*a\) ，那么說(shuō)運(yùn)算*滿足交換律

這兩個(gè)性質(zhì)在大家學(xué)習(xí)初等代數(shù)的時(shí)候似乎是自然成立的，那是因?yàn)?#xff0c;之前接觸的實(shí)數(shù)集合上的四則運(yùn)算恰好滿足了這兩個(gè)性質(zhì)。需要指出的是，在廣義的運(yùn)算上，這兩條性質(zhì)不一定成立。最簡(jiǎn)單的例子就是矩陣乘法不滿足交換律。有些代數(shù)系統(tǒng)甚至不滿足結(jié)合律，這些非結(jié)合代數(shù)是代數(shù)的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。

運(yùn)算定義的那個(gè)集合中可能會(huì)出現(xiàn)一個(gè)比較特殊的元素\(e\)，對(duì)于集合\(S\)任意元素\(s\)，有
\[s*e=e*s=e\]
元素\(e\)稱為運(yùn)算的單位元或者中性元。注意一下，這個(gè)元素不一定存在。

另外，還有一個(gè)特殊元素叫做零元。零元的概念一般出現(xiàn)在環(huán)論中，它的定義是對(duì)于集合\(S\)任意元素\(s\)，如果存在元素\(z\),滿足：
\[z*s=s*z=z\]
一個(gè)常見(jiàn)的零元是整數(shù)乘法中的整數(shù)0，對(duì)于整數(shù)集合中的任意元素\(i\)，都有\(i*0=0*i=0\)。或許，零元的名稱就是這么來(lái)的。

到這里，學(xué)習(xí)抽象代數(shù)的預(yù)備知識(shí)就介紹完了，之后就要向大家介紹群---一個(gè)很基本的代數(shù)系統(tǒng)。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数学习笔记（5） 运算的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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