題面

傳送門：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2014

?

---

Solution

這是一道十分經典的樹形DP題，這種類型的樹形DP有一種很普遍的解法。

?

首先，觀察題目，我們把這道題轉換一下：給定一顆樹，選出包含1號節點（根)的一顆子樹，使得點權和最大。

?

我們可以這樣子定義狀態：

設f[i][j] 表示以i為根節點的子樹，選出j個節點，所能達到的最大點權值。

對于二叉樹來說，轉移很顯然，就是枚舉左子樹分配多少個節點，就可以對應的得出右子樹能分配到多少個節點，對所有情況取最大值就好。

對于多叉樹來說，問題就沒有那么簡單了，這里，我們有兩個方案可以解決這個問題：

一是多叉樹轉二叉樹，

二是樹上背包。

?

因為我不會多叉樹轉二叉樹，所以在這里我主要講一講第二種方法。

我們一般在樹上做的是多重背包問題。

我以本題為例子，講一下樹上如何做多重背包。

首先，我們肯定要一層循環枚舉子樹(可以類似為背包問題中枚舉第幾件物品)。

第二層循環我們得枚舉當前以節點的子樹能分配的節點數（可以類似為背包問題中枚舉背包容量）

*這一層循環一定要從后往前枚舉，類似與背包壓在一維做的做法*

第三層循環我們就可以枚舉當前子樹分配多少個節點了（可以類似多重背包中枚舉第i件物品要幾件）

下面是這種枚舉在這道題應用的代碼：

1 for(int i=0;i<int(e[x].size());i++)//枚舉子樹 2 { 3 int temp=dfs(e[x][i]);//先把子樹的f遞歸下去算出來 4 tot+=temp;//tot記錄到當前子樹為止總節點數 5 for(int j=tot;j>=1;j--)//枚舉自己這顆樹的總分配數 6 for(int k=0;k<=temp;k++)//枚舉子樹分配多少個節點 7 if(j-k>=1) 8 f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[e[x][i]][k]); 9 }

?

樹上背包一般看上去是三重循環，非常恐怖。

但事實上，根據一堆證明（不會證），其復雜度為兩重循環。

所以復雜度應該是O（能過）

復雜度是O(N*N*M)

---

?

Code

樹上背包有成噸的細節，建議參考代碼

#include<iostream> #include<cstdio> #include<vector> using namespace std; long long read() {long long x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f; } const int N=300+10; vector <int> e[N]; long long n,m,f[N][N],v[N]; int dfs(int x) {int tot=1;f[x][1]=v[x];for(int i=0;i<int(e[x].size());i++){int temp=dfs(e[x][i]);tot+=temp;for(int j=tot;j>=1;j--)for(int k=0;k<=temp;k++)if(j-k>=1)f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[e[x][i]][k]);}return tot; } int main() {n=read(),m=read();for(int i=0;i<=n;i++)e[i].reserve(4);for(int i=1;i<=n;i++){e[read()].push_back(i);v[i]=read();}dfs(0);printf("%lld",f[0][m+1]);return 0; } 正解(c++)

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/GoldenPotato/p/9440154.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[Luogu P2014]选课 (树形DP)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。