一，用直角坐標法，去掉中虛數部分：

去掉虛數部分：

二，將直角坐標法的解化成極坐標法的解（方便觀察幅值和相位）：?

? ? ? ? 利用三角恒等式：，，作圖見視頻9:00~10:00

• ?

三，證明，：?

向量法：?

復數法：，方程兩邊去掉虛數即證。

視頻13:00~22:00

四，一階線性ODE的應用：

• ，k>0，應用：濃度—擴散模型
• 如圖
• 這是一個水池，內部體積是V，鹽水從左端流入右端流出，r表示鹽水流速。
• 問題：水池中的鹽含量隨時間變化的函數？
• 設水池中的鹽含量為x，時間為t，鹽含量是時間的函數x(t)
• 建立文字模型：鹽含量隨時間的變化率=鹽的流入速度-鹽的流出速度
• 鹽含量隨時間的變化率為
• 鹽的流入速度=鹽水流速r*鹽水流入的濃度（設鹽水流入的濃度為）
• 鹽的流出速度=鹽水流速r*鹽水流出的濃度（鹽水流出的濃度和水池濃度相同）
• 整理為數學模型：
• 化為一般形式：
• 方程左邊單位是量，而右邊單位是濃度
• 統一成濃度單位：設，則
• 原方程化為：
• 化為一般形式：，，k表示單位時間內流量占體積的比例，K的單位：時間的導數
• 用積分因子法求解即可
• 如果鹽水流入的濃度是正弦函數時，水池里的濃度會多大程度隨的變化而變化？
• 觀察極坐標法的解可知：K越大（流速r越大或體積V越小），振幅越接近1，相位滯后越小

?

• ，k>0，應用：電路，放射性鏈衰變（略）
• 如圖
• R表示電阻，C表示電容，q表示電荷，j表示電流，表示電動勢
• 問題：回路中的電荷隨時間變化的函數？
• 基爾霍夫定律：三個元件的電壓降之和為0
• 建立數學模型：，
• 化為一般形式：

五，如果k<0，以下術語將變得不適用（方程可以照常解）：

暫態、穩態、輸入—響應

?

?

?

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的第八讲 一阶常系数线性ODE（续）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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