一，標準形式：

? ? ? ??，A和B是常數

二，求特征方程：

• 設，t是自變量
• ，
• 標準形式化為：
• 兩邊同時除以，得特征方程：

三，解特征方程得通解，特征根有三種情況：

• r是兩個不同的實數：，

通解：

、為方程的兩個解，且線性無關

?、為任意常數

設初始條件、，建立方程組，解出、

將、代入通解，解得特解

• r是一對共軛復數：

，是復函數

定理：如果復函數是實微分方程的解，那么，

證明：視頻31:00~33:15

，

通解：

表示震幅的邊界，、表示振幅，為任意常數，表示角速度

設初始條件、，建立方程組，解出、

將、代入通解，解得特解

利用輔助角公式：，

化簡特解：，

表示相位滯后（右移）

• r是兩個相等的實數：，

標準形式：，，

特征方程：

將、、代入標準形式

解得：

設，，得

通解：

三，應用：彈簧—質量—阻尼系統

• 如圖
• o點為平衡位置，小車靜止
• 問題：求小車位置x隨時間t變化的函數？
• 建立數學模型：
• 表示小車向右的拉力，表示向左的彈簧力，k表示彈性系數，表示向左的阻尼力
• 化為標準形式：
• 阻尼常數比彈性常數大的情況（無震蕩）：
• 設阻尼常數，彈性常數
• 原方程變為：
• 特征方程：
• 解得：，
• 通解：
• 設初始條件：，
• 建立方程組：；
• 解出：，
• 代入通解得特解：
• 繪制解圖像：視頻25:00~28:00
• 阻尼常數比彈性常數小的情況（震蕩）：
• 設阻尼常數，彈性常數
• 原方程變為：
• 特征方程：
• 解得：
• 通解：
• 設初始條件：，
• 建立方程組……，解出：，
• 代入通解得特解：
• 利用輔助角公式化簡特解：，
• 繪制解圖像：視頻40:30~42：30
• 臨界阻尼：
• 設阻尼常數，彈性常數
• 原方程變為：
• 特征方程：
• 解得：
• 通解：
• ……

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第九讲 二阶齐次常系数线性ODE的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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