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第二十六讲 有特殊特征值的微分方程组

發(fā)布時(shí)間：2025/4/16 编程问答 29 豆豆
生活随笔 收集整理的這篇文章主要介紹了 第二十六讲 有特殊特征值的微分方程组 小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

一，溫度擴(kuò)散問題：
假設(shè)有三個(gè)房間，房間初始溫度分別為：高、中、低，但經(jīng)過一段時(shí)間后，三個(gè)房間互相交換熱量，最終穩(wěn)定在同一個(gè)溫度上。假設(shè)房間溫度分別為：X1,X2,X3X_{1},X_{2},X_{3}X1?,X2?,X3?，如圖：

溫度Xi(t)X_{i}(t)Xi?(t)是時(shí)間的函數(shù)

二，建立微分方程組：
根據(jù)溫度變化率，建立數(shù)學(xué)模型：X1′=a(X3?X1)+a(X2?X1){X_{1}}'=a(X_{3}-X_{1})+a(X_{2}-X_{1})X1?′=a(X3??X1?)+a(X2??X1?)，a是傳導(dǎo)常數(shù)
化簡：X1′=?2aX1+aX2+aX3{X_{1}}'=-2aX_{1}+aX_{2}+aX_{3}X1?′=?2aX1?+aX2?+aX3?
假設(shè)a=1：X1′=?2X1+X2+X3{X_{1}}'=-2X_{1}+X_{2}+X_{3}X1?′=?2X1?+X2?+X3?
同理，建立方程組：
{X1′=?2X1+X2+X3X2′=X1?2X2+X3X3′=X1+X2?2X3\left\{\begin{matrix}{X_{1}}'=-2X_{1}+X_{2}+X_{3}\\ {X_{2}}'=X_{1}-2X_{2}+X_{3} \\ {X_{3}}'=X_{1}+X_{2}-2X_{3}\end{matrix}\right.????X1?′=?2X1?+X2?+X3?X2?′=X1??2X2?+X3?X3?′=X1?+X2??2X3??
用矩陣表示：
[X1′X2′X3′]=[?2111?2111?2][X1X2X3]\begin{bmatrix}{X_{1}}'\\ {X_{2}}'\\ {X_{3}}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X_{1}\\ X_{2}\\ X_{3}\end{bmatrix}???X1?′X2?′X3?′????=????211?1?21?11?2???????X1?X2?X3?????

三，求特征值λ\lambdaλ和特征向量x?\vec{x}x：
∣A?λI∣=[?2?λ111?2?λ111?2?λ]=0\left | A-\lambda I \right |=\begin{bmatrix}-2-\lambda & 1 & 1\\ 1 & -2-\lambda & 1\\ 1 & 1 & -2-\lambda\end{bmatrix}=0∣A?λI∣=????2?λ11?1?2?λ1?11?2?λ????=0
解得：λ1=0，λ2=?3，λ3=?3\lambda _{1}=0，\lambda _{2}=-3，\lambda _{3}=-3λ1?=0，λ2?=?3，λ3?=?3

  • 將λ1=0\lambda _{1}=0λ1?=0代入[?2?λ111?2?λ111?2?λ][x1x2x3]=0\begin{bmatrix}-2-\lambda & 1 & 1\\ 1 & -2-\lambda & 1\\ 1 & 1 & -2-\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=0????2?λ11?1?2?λ1?11?2?λ???????x1?x2?x3?????=0，得：[?2111?2111?2][x1x2x3]=0\begin{bmatrix}-2 & 1 & 1\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=0????211?1?21?11?2???????x1?x2?x3?????=0
  • 解得[x1x2x3]=c1[111]\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}???x1?x2?x3?????=c1????111????
  • 物理洞察力：因?yàn)楫?dāng)經(jīng)過一段時(shí)間后三個(gè)房間的溫度一樣，所以解應(yīng)該是c1[111]c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}c1????111????，c1c_{1}c1?為任意常數(shù)
  • 將λ2=λ3=?3\lambda _{2}=\lambda _{3}=-3λ2?=λ3?=?3代入[?2?λ111?2?λ111?2?λ][x1x2x3]=0\begin{bmatrix}-2-\lambda & 1 & 1\\ 1 & -2-\lambda & 1\\ 1 & 1 & -2-\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=0????2?λ11?1?2?λ1?11?2?λ???????x1?x2?x3?????=0，得：[111111111][x1x2x3]=0\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=0???111?111?111???????x1?x2?x3?????=0
  • 設(shè)自由變量x1=0x_{1}=0x1?=0，得[x1x2x3]=c2[01?1]\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=c_{2}\begin{bmatrix}0\\ 1\\ -1\end{bmatrix}???x1?x2?x3?????=c2????01?1????
  • 設(shè)自由變量x2=0x_{2}=0x2?=0，得[x1x2x3]=c3[10?1]\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=c_{3}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix}???x1?x2?x3?????=c3????10?1????
  • 多余解（線性相關(guān)的解）：[x1x2x3]=c2[01?1]?c3[10?1]=c4[?110]\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=c_{2}\begin{bmatrix}0\\ 1\\ -1\end{bmatrix}-c_{3}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix}=c_{4}\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 0\end{bmatrix}???x1?x2?x3?????=c2????01?1?????c3????10?1????=c4?????110????

    • 四，方程組的通解：
    [X1X2X3]=c1[111]+c2[01?1]e?3t+c3[10?1]e?3t\begin{bmatrix}X_{1}\\ X_{2}\\ X_{3}\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix}0\\ 1\\ -1\end{bmatrix}e^{-3t}+c_{3}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix}e^{-3t}???X1?X2?X3?????=c1????111????+c2????01?1????e?3t+c3????10?1????e?3t
    當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，e^{-3t}→0，c2[01?1]e?3tc_{2}\begin{bmatrix}0\\ 1\\ -1\end{bmatrix}e^{-3t}c2????01?1????e?3t和c3[10?1]e?3tc_{3}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix}e^{-3t}c3????10?1????e?3t為暫態(tài)解，c1[111]c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}c1????111????為穩(wěn)態(tài)解

    五，完備特征值和不完備特征值：

  • 完備特征值：如果λ\lambdaλ是重復(fù)特征值，并且可找到足夠的線性不相關(guān)的特征向量，來構(gòu)造所需數(shù)量的獨(dú)立解。這種重復(fù)特征值叫完備特征值。
  • 不完備特征值：如果λ\lambdaλ是重復(fù)特征值，但找不到到足夠的線性不相關(guān)的特征向量，來構(gòu)造所需數(shù)量的獨(dú)立解。這種重復(fù)特征值叫不完備特征值。

    • 六，主軸定理（譜定理）：
    如果A是實(shí)數(shù)nxn的對(duì)稱矩陣，那么A的所有特征值都是完備的。

    七，處理復(fù)數(shù)特征值：
    例題：[x′y′]=[12?1?1][xy]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\ -1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}[x′y′?]=[1?1?2?1?][xy?]，求[xy]\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}[xy?]

  • 根據(jù)λ\lambdaλ的性質(zhì)：λ1+λ2=0\lambda_{1}+\lambda_{2}=0λ1?+λ2?=0，λ1×λ2=1\lambda_{1}\times \lambda_{2}=1λ1?×λ2?=1，解得：λ1=i\lambda_{1}=iλ1?=i，λ2=?i\lambda_{2}=-iλ2?=?i
  • 將λ1=i\lambda _{1}=iλ1?=i帶入（不需要兩個(gè)λ\lambdaλ都帶入，因?yàn)榻舛际且粯拥?#xff0c;只是帶負(fù)號(hào)）得：[1?i2?1?1?i][xy]=0\begin{bmatrix}1-i &2 \\ -1 & -1-i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=0[1?i?1?2?1?i?][xy?]=0
  • 設(shè)自由變量x=1x=1x=1，得[xy]=[1?1+i2]\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ \frac{-1+i}{2}\end{bmatrix}[xy?]=[12?1+i??]
  • 復(fù)數(shù)解為：[xy]=[1?1+i2]eit\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ \frac{-1+i}{2}\end{bmatrix}e^{it}[xy?]=[12?1+i??]eit
  • 分開實(shí)部和虛部：[1?1+i2]eit=([1?12]+i[012])(cos(t)+isin(t))\begin{bmatrix}1\\ \frac{-1+i}{2}\end{bmatrix}e^{it}=\left ( \begin{bmatrix}1\\ -\frac{1}{2}\end{bmatrix}+i\begin{bmatrix}0\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}\right )\left (cos(t)+isin(t) \right )[12?1+i??]eit=([1?21??]+i[021??])(cos(t)+isin(t))
  • 取出實(shí)數(shù)部分：[xy]=[1?12]cos(t)?[012]sin(t)\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ -\frac{1}{2}\end{bmatrix}cos(t)-\begin{bmatrix}0\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}sin(t)[xy?]=[1?21??]cos(t)?[021??]sin(t)，{x=cos(t)y=?12(cos(t)+sin(t))\left\{\begin{matrix}x=cos(t)\\ y=-\frac{1}{2}(cos(t)+sin(t))\end{matrix}\right.{x=cos(t)y=?21?(cos(t)+sin(t))?
  • 取出虛數(shù)部分：[xy]=i[012]cos(t)+i[1?12]sin(t)\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=i\begin{bmatrix}0\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}cos(t)+i\begin{bmatrix}1\\ -\frac{1}{2}\end{bmatrix}sin(t)[xy?]=i[021??]cos(t)+i[1?21??]sin(t)，{x=isin(t)y=12(icos(t)?isin(t))\left\{\begin{matrix}x=isin(t)\\ y=\frac{1}{2}(icos(t)-isin(t))\end{matrix}\right.{x=isin(t)y=21?(icos(t)?isin(t))?
  • 如果將x帶入y，消去t，會(huì)得到一個(gè)關(guān)于x和y的二次多項(xiàng)式，等于0，圖像是橢圓，隨著t變化，它的值會(huì)以2π為周期旋轉(zhuǎn)。

    • 總結(jié)

    以上是生活随笔為你收集整理的第二十六讲 有特殊特征值的微分方程组的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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