第二十七讲 微分方程组解的图像
一，競爭模型（含參數的微分方程組）：
{x′=?x+byy′=cx?3y\left\{\begin{matrix}{x}'=-x+by \\ {y}'=cx-3y\end{matrix}\right.{x′=?x+byy′=cx?3y?
這個模型是上海和北京之間的旅游競爭，兩個地方都忙于做廣告，想要吸引游客
x′{x}'x′代表上海，y′{y}'y′代表北京
x和y分別代表上海和北京的偏離常態旅游廣告預算的值
x或y前面的系數=0代表預算維持常態
x或y前面的系數<0代表預算減少（通常政府希望盡量節約預算）
x或y前面的系數>0代表預算增加（但是企業家希望政府搞活地方經濟）
b和c表示參照競爭對手的預算，做的預算調整
二，第一種參數情況（b=2，c=0）：
{x′=?x+2yy′=?3y\left\{\begin{matrix}{x}'=-x+2y \\ {y}'=-3y\end{matrix}\right.{x′=?x+2yy′=?3y?
含義：上海預算表現積極，但北京表現平靜（無視上海預算）
三，繪制解的圖像：
方程組里隱藏著容易畫出的4個解，因此從容易畫的開始，再補充其他解。
容易的4個解是：c1=±1,c2=0c_{1}=\pm 1,c_{2}=0c1?=±1,c2?=0（用粉紅色線畫）和c1=0,c2=±1c_{1}=0,c_{2}=\pm 1c1?=0,c2?=±1（用橙色線畫）
當c1=1,c2=0c_{1}=1,c_{2}=0c1?=1,c2?=0時：{x=e?3ty=?e?3t\left\{\begin{matrix}x=e^{-3t }\\ y=-e^{-3t }\end{matrix}\right.{x=e?3ty=?e?3t?
當t=0時：{x=1y=?1\left\{\begin{matrix}x=1\\ y=-1\end{matrix}\right.{x=1y=?1?，當t→∞時，x和y都→0，當t→-∞時，x→∞，y→-∞，如圖：
當c1=?1,c2=0c_{1}=-1,c_{2}=0c1?=?1,c2?=0時：圖像剛好對稱，如圖
當c1=0,c2=1c_{1}=0,c_{2}=1c1?=0,c2?=1時：{x=e?ty=0\left\{\begin{matrix}x=e^{-t }\\ y=0\end{matrix}\right.{x=e?ty=0?
當t=0時：{x=1y=0\left\{\begin{matrix}x=1\\ y=0\end{matrix}\right.{x=1y=0?，當t→∞時，x和y都→0，當t→-∞時，x→∞，如圖：
當c1=0,c2=?1c_{1}=0,c_{2}=-1c1?=0,c2?=?1時：圖像剛好對稱，如圖
因為當t→∞時，通解[xy]=c1[1?1]e?3t+c2[10]e?t\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}e^{-3t }+c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}e^{-t }[xy?]=c1?[1?1?]e?3t+c2?[10?]e?t→0，因此所有線條的終點都是0點。
在t→∞的過程中，c1[1?1]e?3tc_{1}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}e^{-3t }c1?[1?1?]e?3t→0的速度要大于c2[10]e?tc_{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}e^{-t }c2?[10?]e?t，c2[10]e?tc_{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}e^{-t }c2?[10?]e?t占主導地位。[xy]=0+c2[10]e?t\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=0+c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}e^{-t }[xy?]=0+c2?[10?]e?t，相當于在0點附近和c2c_{2}c2?線越來越重合。
在t→-∞的過程中，則相反，c1[1?1]e?3tc_{1}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}e^{-3t }c1?[1?1?]e?3t占主導地位。在t→-∞的過程中，則相反，c1[1?1]e?3tc_{1}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}e^{-3t }c1?[1?1?]e?3t占主導地位。[xy]=c1[1?1]e?3t+c2[10]e?t\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}e^{-3t }+c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}e^{-t }[xy?]=c1?[1?1?]e?3t+c2?[10?]e?t，相當于在遠離0點的范圍和c2c_{2}c2?線越來越平行。
其他解的圖像如圖（綠色線）：
匯聚節點：線型軌跡從無窮遠，最終匯聚到0點（穩定）
源節點：線型軌跡從0點出發，發散到無窮遠（不穩定）
結果：由于北京市市長對上海的預算漠不關心，所以最終兩市的預算回到常態（x和y都=0）
四，第二種參數情況（b=3，c=5）：
{x′=?x+3yy′=5x?3y\left\{\begin{matrix}{x}'=-x+3y \\ {y}'=5x-3y\end{matrix}\right.{x′=?x+3yy′=5x?3y?
含義：上海對北京的預算變得更加敏感，北京則對上海預算的反應變本加厲
五，第三種參數情況（b=-1，c=2）：
{x′=?x?yy′=2x?3y\left\{\begin{matrix}{x}'=-x-y \\ {y}'=2x-3y\end{matrix}\right.{x′=?x?yy′=2x?3y?
含義：北京預算表現積極，但上海反而消極（佛系）
解微分方程組，過程省略了
特征值：λ1=?2+i，λ2=?2?i\lambda _{1}=-2+i，\lambda _{2}=-2-iλ1?=?2+i，λ2?=?2?i
e(?2+i)t=e?2t+eite^{(-2+i)t }=e^{-2t }+e^{it }e(?2+i)t=e?2t+eit，當t→∞時，e?2t→0e^{-2t }→0e?2t→0，eite^{it }eit在單位圓上旋轉
通解的形式：[xy]=c1[[a1a2]cos(t)+[b1b2]sin(t)]e?2t\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=c_{1}[\begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{bmatrix}cos(t)+\begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2}\end{bmatrix}sin(t)]e^{-2t }[xy?]=c1?[[a1?a2??]cos(t)+[b1?b2??]sin(t)]e?2t+…
[xy]=[a1a2]cos(t)+[b1b2]sin(t)\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{bmatrix}cos(t)+\begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2}\end{bmatrix}sin(t)[xy?]=[a1?a2??]cos(t)+[b1?b2??]sin(t)的圖像性質： 這個曲線有邊界，且周期為2π，并滿足一個橢圓方程：Ax2+By2+Cxy=DAx^{2}+By^{2}+Cxy=DAx2+By2+Cxy=D，
e?2te^{-2t }e?2t表示曲線收縮的幅值
如圖
中心點叫螺旋匯聚點
方向沿逆時針轉動：只需將點[xy]=[10]\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}[xy?]=[10?]代入方程組，得該點的速度向量[x′y′]=[?12]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\ 2\end{bmatrix}[x′y′?]=[?12?]，如圖：
結果：由于上海是佛系市長，最終兩市的預算回到常態（x和y都=0）
總結
以上是生活随笔為你收集整理的第二十七讲 微分方程组解的图像的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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