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第二十八讲解非齐次线性方程组

發(fā)布時間：2025/4/16 编程问答 19 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了第二十八讲解非齐次线性方程组小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

一，關(guān)于二階方程組 $x?′=Ax?{\vec{x}}'=A\vec{x}$ 的理論（對n階方程也成立）：
（假設(shè)A是常數(shù)矩陣）

定理A：

x?′=Ax?{\vec{x}}&#x27;=A\vec{x}

的通解是

x?=c1x1?+c2x2?\vec{x}=c_{1}\vec{x_{1}}+c_{2}\vec{x_{2}}

（

x1?\vec{x_{1}}

和

x2?\vec{x_{2}}

線性無關(guān)）

證明可以用線性疊加原理，這里不做詳細(xì)說明了。

定理B：朗斯基行列式

W(x1?,x2?):=∣x1?x2?∣W(\vec{x_{1}},\vec{x_{2}}):=|\vec{x_{1}} \vec{x_{2}}|

，（符號

: =

表示定義或等價），這里

x1?\vec{x_{1}}

和

x2?\vec{x_{2}}

不一定線性無關(guān)。如果二階方程有兩個解，那么朗斯基行列式是自變量t的函數(shù)，并且有兩種可能性，要么

W(t)?≡0W(t)\not\equiv 0

（當(dāng)

x1?\vec{x_{1}}

和

x2?\vec{x_{2}}

線性無關(guān)時），要么

W≡0W\equiv 0

（當(dāng)

x1?\vec{x_{1}}

和

x2?\vec{x_{2}}

線性相關(guān)時）。

方程組的基本矩陣：

x?′=Ax?{\vec{x}}&#x27;=A\vec{x}

，特征向量矩陣

X:=[x1?x2?]X:=\begin{bmatrix}\vec{x_{1}} &amp; \vec{x_{2}}\end{bmatrix}

，

x1?\vec{x_{1}}

和

x2?\vec{x_{2}}

線性無關(guān)

X的性質(zhì)1：|X|對于任意自變量t都≠0，因為

x1?\vec{x_{1}}

和

x2?\vec{x_{2}}

線性無關(guān)

X的性質(zhì)2：

X′=[x1?′x2?′]=[Ax1?Ax2?]=A[x1?x2?]=AX{X}&#x27;=\begin{bmatrix}{\vec{x_{1}}}&#x27; &amp; {\vec{x_{2}}}&#x27;\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A\vec{x_{1}} &amp; A\vec{x_{2}}\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}\vec{x_{1}} &amp; \vec{x_{2}}\end{bmatrix}=AX

二，解非齊次線性方程組：
一般形式： ${x′=ax+by+r1(t)y′=cx+dy+r2(t)\left\{\begin{matrix}{x}'=ax+by+{\color{Red} r_{1}(t)}\\ {y}'=cx+dy+{\color{Red} r_{2}(t)}\end{matrix}\right.$
簡化形式： $x?′=Ax?+r?(t){\vec{x}}'=A\vec{x}+\vec{r}(t)$
定理C：微分方程組的通解 $xg?=xc?+xp?\vec{x_{g}}=\vec{x_{c}}+\vec{x_{p}}$ ，其中 $xc?\vec{x_{c}}$ 是 $x?′=Ax?{\vec{x}}'=A\vec{x}$ 的通解， $xp?\vec{x_{p}}$ 是微分方程組的一個特解。可以用線性疊加原理證明。
找到特解 $xp?\vec{x_{p}}$ 是求解的關(guān)鍵。

三，例題：

圖中，箭頭表示流向，數(shù)字表示流速，單位是L/h，x表示左邊容器中鹽的含量，y表示右邊容器中鹽的含量，兩個容器的容量都是1L。
假設(shè)輸入項為：外部流入左邊容器的液體濃度是 $5e^{-t}$ ，外部流入右邊容器的液體濃度是0。輸入項不全為0，決定了方程組是非齊次方程組。

建立微分方程組：
$x′=?3x+2y+5e?t{x}'=-3x+2y+5e^{-t}$
含義：左邊容器x的變化率=-流出速度X左容器中鹽的濃度+內(nèi)部流入速度X右容器中鹽的濃度+從外部流入速度X外部液體的濃度。
$y^{'} = 3 x ? 4 y + 0$
含義：右邊容器y的變化率=內(nèi)部流入速度X左容器中鹽的濃度+流出速度X右容器中鹽的濃度+從外部流入速度X外部液體的濃度。
${x′=?3x+2y+5e?ty′=3x?4y+0\left\{\begin{matrix}{x}'=-3x+2y+5e^{-t}\\ {y}'=3x-4y+0\end{matrix}\right.$

矩陣化：
$[x′y′]=[?323?4][xy]+[5e?t0]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3 & 2\\ 3 & -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5e^{-t}\\ 0\end{bmatrix}$

參數(shù)變分法求特解 $xp?\vec{x_{p}}$ ：
$xp?=v1(t)x1?+v2(t)x2?\vec{x_{p}}=v_{1}(t)\vec{x_{1}}+v_{2}(t)\vec{x_{2}}$
和定理A類似，只不過把常數(shù)c改成了參數(shù)v
化為基本矩陣： $xp?=[x1?x2?][v1(t)v2(t)]=Xv?\vec{x_{p}}=\begin{bmatrix} \vec{x_{1}}& \vec{x_{2}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}(t)\\ v_{2}(t)\end{bmatrix}=X\vec{v}$

將特解 $xp?\vec{x_{p}}$ 代入方程組 $x?′=Ax?+r?(t){\vec{x}}'=A\vec{x}+\vec{r}(t)$ ，求出 $v?\vec{v}$ ：
代入得： $xp?′=Axp?+r?(t){\vec{x_{p}}}'=A\vec{x_{p}}+\vec{r}(t)$
等式左邊： $xp?′=(Xv?)′=X′v?+Xv?′{\vec{x_{p}}}'={(X\vec{v})}'={X}'\vec{v}+X{\vec{v}}'$ ，（乘積的求導(dǎo)公式）
等式右邊： $Ax?+r?(t)=AXv?+r?(t)A\vec{x}+\vec{r}(t)=AX\vec{v}+\vec{r}(t)$
因為X是方程組的基本矩陣，所以根據(jù)X的性質(zhì)2： $A X = X^{'}$
等式右邊： $Ax?+r?(t)=AXv?+r?(t)=X′v?+r?(t)A\vec{x}+\vec{r}(t)=AX\vec{v}+\vec{r}(t)={X}'\vec{v}+\vec{r}(t)$
左邊=右邊： $X′v?+Xv?′=X′v?+r?(t)?Xv?′=r?(t){X}'\vec{v}+X{\vec{v}}'={X}'\vec{v}+\vec{r}(t)\Rightarrow X{\vec{v}}'=\vec{r}(t)$
$v?′=X?1r?(t){\vec{v}}'=X^{-1}\vec{r}(t)$ ，根據(jù)X的性質(zhì)1，X存在逆矩陣
$v?=∫X?1r?(t)dt\vec{v}=\int X^{-1}\vec{r}(t)dt$ ， $X?1r?(t)X^{-1}\vec{r}(t)$ 是一個列向量，元素都是t的函數(shù)，只要逐個積分就算出來了。
結(jié)果： $xp?=Xv?=X∫X?1r?(t)dt\vec{x_{p}}=X\vec{v}=X\int X^{-1}\vec{r}(t)dt$ ，只要找到一個特解就行，因此不用在公式后加積分常數(shù)。

求 $x?′=Ax?{\vec{x}}'=A\vec{x}$ 的通解 $xc?\vec{x_{c}}$ 的部分省略了

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第二十八讲解非齐次线性方程组的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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第二十八讲 解非齐次线性方程组

總結(jié)

第二十八讲解非齐次线性方程组