原根：

? 定義

設m是正整數，a是整數，若a mod m 的階等于，則稱a為模m的一個原根（表示m的歐拉函數）

當且僅當指數為P - 1的時候，成立，則質數P的原根即為g

? ? ?? 求解方法：1.將p-1進行質因數分解?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2.枚舉i，并判斷對于每個i是否都有，第一個符合i的即是P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的最小原根

? ? ?? 對于合數，只要將2中的P-1替換成

對于等價于，可使用擴展歐幾里得求解x

? 性質

• 若m為原根，則恰好有個在模m下的不同原根

求原根g的模板：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std; typedef long long LL;const int maxn = 1e6+5;LL p, primes[maxn], cnt; bool vis[maxn];LL fp(LL x, LL a){LL res = 1;for(x %= p; a; a >>= 1, x = x*x%p)if(a & 1) res = res * x % p;return res; }void get_prime(int x){ //篩出x以內的素數for(int i = 2; i <= x; i++){if(!vis[i]) prime[++cnt] = i;for(int j = 1; j <= cnt; j++){if(i * primes[j] > x) break;vis[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0) break;}} }bool check(LL x){ //檢查x是否是p的原根LL t = sqrt(x) + 10;for(int i = 1; i < prime[i] <= t; i++)if((p-1) % prime[i] == 0 && fp(x, (p-1)/prime[i]) % p == 1)return 0;return 1; }int main() {scanf("%lld", &p); //求模p的原根get_prime();for(int i = 1; i <= maxn; i++){if(check(i)){printf("%d\n", i); //輸出的第一個數即為最小原根return 0;}} }

?

指標：

原根的作用就是為了計算指標 （指標的表示符號）。

滿足?

最常見的應用：解模高次方程

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的原根与指标，离散对数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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