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一、功率譜的定義

? ? 由維納辛定理可知，在離散的條件下功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系如下。設(shè)離散隨機(jī)序列x(n)，自功率密度和自相關(guān)函數(shù)有：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

其中為數(shù)據(jù)采樣間隔。

? ? 而離散隨機(jī)序列x(n)和y(n)，互功率譜密度和互相關(guān)函數(shù)，有

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????

且有，

實(shí)際工程中隨機(jī)序列長(zhǎng)度均為有限長(zhǎng)，因此利用有限長(zhǎng)隨機(jī)序列計(jì)算的自功率譜密度和互功率譜密度只是真實(shí)值的一種估計(jì)。

二、用matlab計(jì)算功率譜密度

1.實(shí)例：

? ? 某信號(hào)有正弦分量和隨機(jī)數(shù)所組成，正弦信號(hào)的頻率分別為50HZ和120HZ，50HZ信號(hào)的幅值為1，120HZ信號(hào)的幅值為3，采樣頻率為1000HZ，隨機(jī)信號(hào)是均值為0，方差為1。
下面分別調(diào)用fft與periodogram函數(shù)來(lái)計(jì)算功率譜密度。

clear all; clc;? close all;randn('state',0); ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?% 隨機(jī)數(shù)初始化 Fs = 1000; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? % 采樣頻率 t = 0:1/Fs:1-1/Fs; ? ? ? ? ? ? ? ? ? % 時(shí)間刻度 f1=50; f2=120; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? % 兩個(gè)正弦分量頻率 x=cos(2*pi*f1*t)+3*cos(2*pi*f2*t)+randn(size(t)); % 信號(hào)% 使用FFT N = length(x); ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? % x長(zhǎng)度 xdft = fft(x); ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? % FFT xdft = xdft(1:N/2+1); ? ? ? ? ? ? ? ?% 取正頻率 psdx = (1/(Fs*N)) * abs(xdft).^2; ? ?% 計(jì)算功率譜密度 psdx(2:end-1) = 2*psdx(2:end-1); ? ? % 乘2(2:end-1) freq = 0:Fs/length(x):Fs/2; ? ? ? ? ?% 頻率刻度 subplot 211 plot(freq,10*log10(psdx),'k') ? ? ? ?% 取對(duì)數(shù)作圖 grid on; xlim([0 Fs/2]); title('用FFT的周期圖') xlabel('頻率/Hz') ylabel('功率譜密度/(dB/Hz)')% 調(diào)用periodogram函數(shù) [Pxx,f]=periodogram(x,rectwin(length(x)),N,Fs); subplot 212 plot(freq,10*log10(Pxx),'k'); ? ? ? ?% 取對(duì)數(shù)作圖 grid on; xlim([0 Fs/2]); title('調(diào)用periodogram函數(shù)的周期圖') xlabel('頻率/Hz') ylabel('功率譜密度/(dB/Hz)')mxerr = max(psdx'-Pxx) ? ? ? ? ? ? ? % 求兩種方法的最大差值 set(gcf,'color','w');?

2.分析

調(diào)用格式：

? [Pxx,f]=periodogram(x,window,nfft,fs);

說(shuō)明：

? ? 輸入?yún)?shù)：

? ? ? ? x ： 被測(cè)信號(hào)；

? ? ? ?window：窗函數(shù)，默認(rèn)為矩行窗，長(zhǎng)度為信號(hào)x的長(zhǎng)；

? ? ? ?nfft：FFT的長(zhǎng)度，默認(rèn)為信號(hào)x的長(zhǎng)；

? ? ? ?fs：采樣頻率；

? ? 輸出參數(shù)：

? ? ? ? Pxx：是以周期圖法計(jì)算信號(hào)x的功率譜密度估值；

? ? ? ? f：實(shí)際頻率；

下面我們來(lái)對(duì)上述程序進(jìn)行詳細(xì)分析:

首先我們先看信號(hào)x的波形，很明顯可以看出信號(hào)中存在噪聲干擾。

然后信號(hào)x的頻譜圖為（采樣頻率為1000）（注：下圖為移位后的圖）

取正頻率段

計(jì)算功率譜密度為

縱坐標(biāo)取對(duì)數(shù)圖

調(diào)用periodogram函數(shù)得到的功率譜圖為

調(diào)用fft與調(diào)用periodogram函數(shù)得到的功率譜圖對(duì)比：

err（誤差）圖

最大誤差? mxerr =5.5511e-17

可以看到，兩種方法計(jì)算出功率譜密度的最大差值在e-17量級(jí)上，幾乎可以忽略不計(jì)。因此可以說(shuō)明兩種方法計(jì)算的結(jié)果是完全一致的，毫無(wú)差別。但調(diào)用periodogram函數(shù)的程序更簡(jiǎn)潔！

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?that's all。 Thank you！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的非参数法功率谱估计（2020-11-1）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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