MPT

MPT, modern portfolio theory。現(xiàn)在資產(chǎn)配置理論。
理論很簡單。

假設(shè)每個(gè)資產(chǎn)的收益率是一個(gè)隨機(jī)變量$x_i$。既然是隨機(jī)變量，當(dāng)然就會(huì)有均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

如果資產(chǎn)數(shù)量不是只有一個(gè)的話（一個(gè)的話，做什么資產(chǎn)配置），也就是存在有多個(gè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量之間當(dāng)然就會(huì)有協(xié)方差。

資產(chǎn)配置的目的就是，找到一種較好的資產(chǎn)配置組合，使得達(dá)到預(yù)期的收益率的情況下，風(fēng)險(xiǎn)最小。

這句話其實(shí)就已經(jīng)告訴了我們這個(gè)模型該如何建立。

建模

$$E(r_w)=\sum _{i=1}^n{w}_i{r}_i$$
$$Var(r_w)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{w}_i{w}_{j}Cov(r_i,r_j)$$

我們根據(jù)上面的加粗文字就可以知道模型應(yīng)該為：

$$\begin{gathered} \underset{w}{\min }Var(r_w) \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.E(r_w)=\mu \\ \sum _{i=1}^n{w}_i=1 \end{gathered}$$

• 上面的模型中的約束如果不加上w應(yīng)該大于等于0的話，就表示可以賣空，做負(fù)的配置。但是做負(fù)的配置的時(shí)候一般也是有保證金什么的。模型會(huì)復(fù)雜點(diǎn)。
• 最簡單的情況是，考慮到w大于等于0

優(yōu)化

優(yōu)化的話，這里使用粒子群優(yōu)化的方式。
其實(shí)一般最常用的是拉格朗日乘子法。
（拉格朗日乘子法是優(yōu)化的最基礎(chǔ)的算法啦，大家直接查就好了。這里我直接截的附件中的圖）

• 最后用的是下面這個(gè)來解出拉格朗日算子。
  
• 代入到使得梯度為0的方程解出來的方程中。
  

粒子群優(yōu)化

粒子群的思路很簡單，就是給一個(gè)初始化的向量。然后，每個(gè)粒子記住自己的歷史最優(yōu)解和全局的最優(yōu)解。每次的迭代往這兩個(gè)方向上加權(quán)的偏移就好了。

項(xiàng)目代碼

假設(shè)有n個(gè)產(chǎn)品。cor是它們之間的協(xié)方差矩陣。然后，很明顯在這個(gè)社會(huì)中風(fēng)險(xiǎn)越高（方差越大），那么這個(gè)產(chǎn)品的收益率越高。

給一個(gè)預(yù)期的期望收益。由于數(shù)據(jù)都是隨機(jī)生成的。這里我們就直接取用在最大和0之間的alpha比例的數(shù)值（資產(chǎn)配置不可能高過最高均值收益）

• 給定$\alpha$,表示在最大和0之間的百分比。alpha取1表示最大值。0表示0。

n = 10 alpha = 0.8 cor = np.random.random((n, n)) mu = np.diag(cor) EV = alpha * max(mu)

• 添加下面這兩個(gè)函數(shù)，是為了保證生成的分配方式會(huì)使得期望收益達(dá)到目標(biāo)設(shè)置的值。

def randOne(n):a = np.random.random(n)return a / np.sum(a)def ReCheck(newData, n=10, oriData=None):for i in range(len(newData)):if oriData is None:while np.matmul(newData[i], mu.T) < EV:newData[i] = randOne(n)elif np.matmul(newData[i], mu.T) < EV:newData[i] = oriData[i]return newData

• m表示有m個(gè)粒子來做探索。對(duì)其做初始化
• MTime 表示最大迭代周期

m = 30 por = np.random.random((m, n)) por = por / np.sum(por, axis=1)[:, np.newaxis] # 歸一por = ReCheck(por) w, c1, c2 = 0.6, 2, 2 v = np.random.random((m, n)) MTime = 500

• 計(jì)算數(shù)值（Objective function）

def CalVal(por):tmp = 0for i in range(len(por)):for j in range(len(por)):tmp += por[i] * por[j] * cor[i][j]return tmp

• 粒子群迭代(解釋思路)
  • 一開始先算出每種分配所對(duì)應(yīng)的總風(fēng)險(xiǎn)
  • 然后最初的話，局部最優(yōu)的結(jié)果當(dāng)然就是初始化的結(jié)果。
  • 目前已知的全局最優(yōu)解，一樣也就是這些局部最優(yōu)解的最優(yōu)解
  • 迭代更新速度向量v。這個(gè)向量一開始也是隨機(jī)初始化的。
  • 有一個(gè)慣性因子w，即表示保持原來的方式飛行。
  • c1是局部最優(yōu)因子;c2是全局最優(yōu)因子
  • 更新好速度向量后。再和原來相加。最后判斷對(duì)應(yīng)的數(shù)值有沒有超過設(shè)置的預(yù)期均值。

t = 0 while t < MTime:t += 1val = np.zeros(m)for i, p in enumerate(por):val[i] = CalVal(p)if t == 1:local_Min_por = por.copy()local_Min_val = val.copy()else:for i in range(m):if val[i] < local_Min_val[i]:local_Min_val[i] = val[i]local_Min_por[i] = por[i]global_Min_index = np.argmin(local_Min_val)global_Min_por = local_Min_por[global_Min_index]global_Min_val = local_Min_val[global_Min_index]for i in range(m):v[i] = w * v[i] + c1 * np.random.rand() * local_Min_por[i] + c2 * np.random.rand() * global_Min_pornew_por = por + v[i]new_por = new_por / np.sum(new_por, axis=1)[:, np.newaxis]por = ReCheck(new_por, oriData=por)

效果檢驗(yàn)（和蒙特卡洛方法對(duì)比）

蒙特卡洛采用完全隨機(jī)的方式。這里同樣的設(shè)置總的次數(shù)相等。然后再通過不滿足對(duì)應(yīng)的期望收益標(biāo)準(zhǔn)的方案就去掉的方式。

random_por = np.random.random((m * MTime, n)) random_por = random_por / np.sum(random_por, axis=1)[:, np.newaxis] # 歸一random_

• check and abandon

def ReCheck_abandon(newData):ansData = newData.copy()i, j = 0, 0 while i < len(newData):if np.matmul(newData[i], mu.T) >= EV:ansData[j] = newData[i]j += 1i += 1return ansData[:j] random_por = ReCheck_abandon(random_por) val = np.zeros(m * MTime)[:len(random_por)] for i, p in enumerate(random_por):val[i] = CalVal(p)

• 畫圖

plt.plot(val) plt.plot([global_Min_val for i in range(len(val))])

• 發(fā)現(xiàn)其實(shí)存在有不少數(shù)結(jié)果都比粒子群的方式要好。畢竟粒子群在這里關(guān)于粒子移動(dòng)的速度的設(shè)定其實(shí)在這種求和受限制的空間的搜索效果并不太好。當(dāng)然可以適當(dāng)改進(jìn)下。（歡迎大家提供改進(jìn)方案，一起討論~）
  

《新程序員》：云原生和全面數(shù)字化實(shí)踐50位技術(shù)專家共同創(chuàng)作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的马科维茨的均值方差模型(MPT)粒子群优化--Python实现的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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