特征值和特征向量是矩陣的本質(zhì)內(nèi)容，在動(dòng)態(tài)問題中發(fā)揮很重要的作用，本文講得矩陣默認(rèn)為方陣（square）。

1.幾何意義

現(xiàn)在我們從幾何的角度解釋說(shuō)明是特征值什么是特征向量。大多數(shù)的向量（x）乘上矩陣A時(shí)，即Ax，(下文中提到向量x乘上A就值A(chǔ)x)都會(huì)改變向量的方向，但存在某些列外的矩陣x，它的方向和Ax的方向相同，這些向量就被稱為特征向量。向量Ax為標(biāo)量乘上原始向量x。

特征值的大小表明當(dāng)特征向量x乘上A時(shí)拉伸、收縮、反轉(zhuǎn)或者沒有改變（e.g. 相應(yīng)的的值為2，-1/2，-1，1）。當(dāng)然特征值也可以為0。
表明特征向量在矩陣的零空間。如果A為單位矩陣，所有的向量滿足
，所有的向量都是
的特征向量，所有的特征值為1.

2.特征值特征向量的求解

特征值通過方程求解，求出特征值后，相應(yīng)的特征值就是的零空間。下面的例子是求解的過程：



下面介紹一個(gè)特征值的簡(jiǎn)單用途，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果A乘上x1，我們得到x1，類推得到，同樣的A^n*x2 = (1/2)^n * x2，從中我們可以得到的特征向量同樣為x1，x2，而特征值發(fā)生了變化，分別為1和。
因?yàn)椴煌卣髦档奶卣飨蛄烤€性無(wú)關(guān)，所有x1和x2可以作為二維向量的一組基向量，所有的二維向量都可以表示成x1和x2的線程組合。我們可以吧矩陣A的第一個(gè)列向量分解成：

當(dāng)乘上矩陣A時(shí)，得到：

得到結(jié)果（.7, .3）為A^2的第一個(gè)列向量。 當(dāng)然我們需要求解矩陣，可以用同樣的方法，下面是通過求解得到的第一個(gè)列向量：

根據(jù)上訴的方法，當(dāng)我們需要求解一個(gè)矩陣A的高次冪是，我不需要先求A^2,A^3.........，這樣的效率非常低，我們可以直接通過特征值和特征向量來(lái)求解。 上面提到的x1不會(huì)改變，我們稱為“steady state”，因?yàn)樗奶卣髦禐?，x2會(huì)慢慢消失，我們成為“decaying mode”，因?yàn)槠涮卣髦敌∮?。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，矩陣高次冪的每一列都會(huì)趨向于穩(wěn)態(tài)。下面我們就引入馬爾科夫矩陣，它的所有元素都為正值，每一列的和為1，另外它的最大特征值為1。上面的矩陣A就是馬爾科夫矩陣。

3.幾個(gè)性質(zhì)

1.如果矩陣A的每一列的和都為1，則1是A的一個(gè)特征值。 2.如果矩陣A為奇異的，det（A）= 0，則0是A的一個(gè)特征值。 3.如果A為對(duì)稱矩陣，則不同特征值的特征向量相互正交。 4.所有特征值的乘積為矩陣的行列式。 5.所有特征值的和為矩陣的跡，即矩陣主對(duì)角線上的元素和。

4.總結(jié)

本文簡(jiǎn)單介紹了特征值和特征向量，上面的例子都是比較理想（一個(gè)矩陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征值）。需要注意的，有些n*n矩陣沒有n的相互獨(dú)立特征向量，這樣就不可能作為n維空間的一個(gè)基，同樣的不能表示所有的n維向量。（這樣的矩陣也不可能對(duì)角化）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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