特征值和特征向量是矩陣的本質內容，在動態問題中發揮很重要的作用，本文講得矩陣默認為方陣（square）。

1.幾何意義

現在我們從幾何的角度解釋說明是特征值什么是特征向量。大多數的向量（x）乘上矩陣A時，即Ax，(下文中提到向量x乘上A就值Ax)都會改變向量的方向，但存在某些列外的矩陣x，它的方向和Ax的方向相同，這些向量就被稱為特征向量。向量Ax為標量乘上原始向量x。

特征值的大小表明當特征向量x乘上A時拉伸、收縮、反轉或者沒有改變（e.g. 相應的的值為2，-1/2，-1，1）。當然特征值也可以為0。
表明特征向量在矩陣的零空間。如果A為單位矩陣，所有的向量滿足
，所有的向量都是
的特征向量，所有的特征值為1.

2.特征值特征向量的求解

特征值通過方程求解，求出特征值后，相應的特征值就是的零空間。下面的例子是求解的過程：



下面介紹一個特征值的簡單用途，我們可以發現，如果A乘上x1，我們得到x1，類推得到，同樣的A^n*x2 = (1/2)^n * x2，從中我們可以得到的特征向量同樣為x1，x2，而特征值發生了變化，分別為1和。
因為不同特征值的特征向量線性無關，所有x1和x2可以作為二維向量的一組基向量，所有的二維向量都可以表示成x1和x2的線程組合。我們可以吧矩陣A的第一個列向量分解成：

當乘上矩陣A時，得到：

得到結果（.7, .3）為A^2的第一個列向量。 當然我們需要求解矩陣，可以用同樣的方法，下面是通過求解得到的第一個列向量：

根據上訴的方法，當我們需要求解一個矩陣A的高次冪是，我不需要先求A^2,A^3.........，這樣的效率非常低，我們可以直接通過特征值和特征向量來求解。 上面提到的x1不會改變，我們稱為“steady state”，因為他的特征值為1，x2會慢慢消失，我們成為“decaying mode”，因為其特征值小于1。根據這個性質，矩陣高次冪的每一列都會趨向于穩態。下面我們就引入馬爾科夫矩陣，它的所有元素都為正值，每一列的和為1，另外它的最大特征值為1。上面的矩陣A就是馬爾科夫矩陣。

3.幾個性質

1.如果矩陣A的每一列的和都為1，則1是A的一個特征值。 2.如果矩陣A為奇異的，det（A）= 0，則0是A的一個特征值。 3.如果A為對稱矩陣，則不同特征值的特征向量相互正交。 4.所有特征值的乘積為矩陣的行列式。 5.所有特征值的和為矩陣的跡，即矩陣主對角線上的元素和。

4.總結

本文簡單介紹了特征值和特征向量，上面的例子都是比較理想（一個矩陣有n個線性無關的特征值）。需要注意的，有些n*n矩陣沒有n的相互獨立特征向量，這樣就不可能作為n維空間的一個基，同樣的不能表示所有的n維向量。（這樣的矩陣也不可能對角化）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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