如果矩陣滿足，則矩陣P稱為對稱矩陣，對稱矩陣有很多優秀的屬性，可以說是最重要的矩陣。

1.對稱矩陣的對角化

如果一個矩陣有n個線性無關的特征向量，則矩陣是可對角化的，矩陣可表示成，相應的。因為，很有可能A的逆等于A的轉置。同樣的，就可能有，這可發現S中的特征向量和其他的特征向量正交，后文會進行證明。 我們把上的S成為正交矩陣Q，Q滿足，Q中的每一個列向量為單位特征向量。每一個對陣矩陣都可以被分解成：

2.對稱矩陣的性質

1.對陣矩陣的特征值為實數。

2.對陣矩陣的特征向量相互正交。

3.譜分解

先看一個例子：
上面例子是矩陣的另一種分解形式，把矩陣A分解成了兩個投影矩陣的線性組合。
下面介紹下什么是投影矩陣，如果一個方陣滿足，我們矩陣P為投影矩陣。 現在我們有兩個投影矩陣P1和P2，顯然滿足。
任意給定一個3維列向量b=（x,y,z），通過P1矩陣后得到列向量p1=（0,0,z），可以發現矩陣P把所有的向量都投影到了Z軸上面。

同樣的P2把所有的向量都投影到xy平面上。 這里補充一個知識，如果想把向量投影到一條直線上，如何得到投影矩陣。給出一個最簡單的方法，如果u是這條直線的單位方向向量，則投影矩陣P=uuT。詳細的投影介紹見wikip。

現在重新回到譜分解，現在考慮n*n的對陣矩陣，肯定存在n和投影矩陣，可以把矩陣A看成n個投影矩陣的線性組合，這個就是譜分解。

4.主元和特征值的關系

主元和特征值不同，但是他們又一定的聯系: 1.對于所有矩陣，主元的乘積=特征值的乘積=矩陣的行列式 2.對于對稱矩陣，主元和特征值有相同的符號，即正主元的個數和正特征值的個數相同，但是非對稱矩陣不滿足，下面是兩個例子。

5.對角性

如果一個矩陣A的特征值都不相同，它的特征向量肯定線性無關，則A是可以對角化的。如果一個矩陣存在相同的特征值，對于非對稱矩陣會導致特征向量不足，無法對角化；但對于對稱矩陣，即使存在相同的特征值，矩陣仍然可以對角化。（在這就不做證明了）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的对称矩阵（Symmetric Matrices）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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