平方剩余：
設p是奇素數(即大于2的素數)，如果二次同余式 ? ?有解，則a稱為模p的平方剩余，否則a稱為模p的平方非剩余(二次非剩余)(之所以規定p是大于2的素數，是因為p = 2時解上面的二次同余式非常容易。
求出p = 5，7時的平方剩余和平方非剩余．
解　p = 5時，因為

p = 7時，因為

所以1，4是模5的平方剩余，而2，3是模5的平方非剩余
而且對于平方剩余還存在多解x.(對于為什么取p的完全剩余系中數的x^2,因為p的完全剩余系中就包括了模p的所有可能結果)

模p的簡化剩余系中，平方剩余的個數：
設p是奇素數．在模p的簡化剩余系中，有?個平方剩余， ?個平方非剩余．
證明: 取模p的最小絕對簡化剩余系

則模p的全部平方剩余為

因為
于是模p的全部平方剩余為

現在證明這個 ?平方剩余兩兩不同，用反證法．
假設
就有
因為p是素數，在時，或者都是不成立的。
?所以所以在模p的簡化剩余系中，有個平方剩余，同時有 個平方非剩余．

求模p的平方剩余時，就可以只計算下列數了：

就可以求出來全部的平方剩余解。

求出p = 11，時的平方剩余和平方非剩余．
解　p = 11時：

則全部的解就是1,3,4,5,9

判定一個數a是模p的平方剩余解的充要條件,(p是奇素數)（歐拉判別法)
?? ? ??
a是模p平方非剩余充要條件
? ? ??


勒讓德符號：
設p是奇素數，a是整數．勒讓德（Legendre）符號定義如下：
????
集合里面的數值代表1：a是模p的平方剩余，-1：a是模p的平方非剩余，0：a可以被p整除
勒讓德符號的性質：
a.?即：對于任何素數p，1肯定是p的平方剩余，當p是奇素數(除2外)的時候 -1 也是模p的平方剩余
b. 由??
c.
d.
e.
f.
資料：https://wenku.baidu.com/view/d7a28a53b0717fd5370cdc4a.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的平方剩余(二次剩余)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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