在OpenGL中需要定義一個視圖(view)矩陣，很多庫都提供一個叫LookAt的函數(shù)，可以定義該視圖矩陣。
該函數(shù)的原型是

Mat4x4 LookAt(pos: vector3D, target: vector3D, up:vector3D)

直觀的理解，就是pos為觀察者當(dāng)前的坐標(biāo)，target朝向的點坐標(biāo)，up為觀察者上方方向。返回的就是一個視圖矩陣。

其實所謂的視圖矩陣，就是一個坐標(biāo)系與坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣。視圖矩陣將世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到了視圖坐標(biāo)系下。

我們來推導(dǎo)一下三維坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的關(guān)系。

世界坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸，定義為$e_1,e_2,e_3$(都是向量)， 視圖坐標(biāo)系下的三個坐標(biāo)軸定義為$E_1,E_2,E_3$(都是向量)，視圖坐標(biāo)系的原點在世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為$v$, $E_1,E_2,E_3$在世界坐標(biāo)系下有

也即$t_{11}..t_{13}$為$E_1$在世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

對于任意一點P，在世界坐標(biāo)系下和視圖坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別表示


其中$(x_1,x_2,x_3)$為世界坐標(biāo)系下坐標(biāo)，$(X_1,X_2,X_3)$為視圖坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。聯(lián)立兩個方程，則有

這里對于任意$e_1,e_2,e_3$應(yīng)該都成立，令

則有

注意旋轉(zhuǎn)矩陣M為正交矩陣

因此最后

如果都寫成齊次坐標(biāo)的形式

視圖矩陣就是

因此視圖矩陣就是

最后理解一下視圖矩陣中的元素意義。視圖矩陣為4x4矩陣，其中左上角的3x3矩陣為一個旋轉(zhuǎn)矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣的每一行代表視圖坐標(biāo)的坐標(biāo)軸在世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。右上角的1x3矩陣，代表視圖坐標(biāo)原地在世界坐標(biāo)系下坐標(biāo)，但是乘了一個旋轉(zhuǎn)矩陣還進(jìn)行了取反。

有了坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的知識后，理解lookat就不難了。
lookat參數(shù)中的pos和target定義視圖坐標(biāo)系的z軸，z軸方向是pos-target，這是因為視圖坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)系，z軸方向指向觀察者。x方向垂直于up方向和z軸方向，因此可以由up和z軸的叉積來定義。y方向由z軸和x軸的叉積來定義。

下面是我寫的計算視圖矩陣的LookAt的函數(shù)，大家可以跟glm庫或者Qt庫中l(wèi)ookat函數(shù)進(jìn)行對比。

def lookat(pos: np.ndarray, target: np.ndarray, up: np.ndarray) -> np.ndarray:vecz = pos - targetvecz = vecz / np.sqrt(vecz.dot(vecz))vecx = np.cross(up, vecz)vecx = vecx / np.sqrt(vecx.dot(vecx))vecy = np.cross(vecz, vecx)rot_mat = np.r_[vecx.reshape((1, 3)), vecy.reshape((1, 3)), vecz.reshape((1, 3))]v = -rot_mat.dot(pos)rlt_mat = np.array([[rot_mat[0, 0], rot_mat[0, 1], rot_mat[0, 2], v[0]],[rot_mat[1, 0], rot_mat[1, 1], rot_mat[1, 2], v[1]],[rot_mat[2, 0], rot_mat[2, 1], rot_mat[2, 2], v[2]],[0, 0, 0, 1]])return rlt_mat

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的推导LookAt函数定义的视图矩阵的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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