連續(xù)計(jì)算平均數(shù)和方差

問(wèn)題：對(duì)數(shù)列$x[n]$,計(jì)算其平均數(shù)$m[n]$,方差$v[n]$，平均數(shù)m[n]為x[1]到x[n]之間數(shù)的平均值v[n]為x[1]到x[n]之間的方差
$$\begin{gathered} m[n]=\sum _1^n(\frac{x[i]}{n}) \\ v[n]=\sum _i^n(\frac{(x[i]?m[n]{)}^2}{n}) \end{gathered}$$

這個(gè)問(wèn)題用通用的方法計(jì)算沒(méi)有問(wèn)題，但是效率會(huì)比較低。因?yàn)橛?jì)算后面的平均數(shù)和方差時(shí)，前面的數(shù)重復(fù)累加計(jì)算了多次。對(duì)于平均數(shù)m[n]，一個(gè)簡(jiǎn)單的優(yōu)化方法就是設(shè)置一個(gè)累加序列s[n],s[i]為x[0]到x[i]之間數(shù)的和。這樣計(jì)算平均數(shù)m[n]，很容易從s[n]得到，計(jì)算方差呢？也可以設(shè)置另一個(gè)累加序列s2[n]，s2[i]為x[0]到x[i]之間數(shù)的平方和。
$$\begin{gathered} s[n]=\sum _1^n(x[i]) \\ m[n]=\frac{s[n]}{n} \\ s2[n]=\sum _1^{n}x[i{]}^2 \\ v[n]=\frac{{\sum }_1^{n}x[i{]}^2+n?m[n{]}^2?2?m[n]?{\sum }_1^{n}x[i]}{n} \\ =\frac{s2[n]+n?m[n{]}^2?2?m[n]?s[n]}{n} \end{gathered}$$
但是這種方法需要另外再多加兩個(gè)數(shù)組s[n]和s2[n]。下面介紹一種更好的方法，據(jù)說(shuō)來(lái)自Donald Knuth 的《計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)藝術(shù)》第二卷，但是我粗略在這本書中找了一下沒(méi)有找到。我是在《Learning JavaScript JavaScript Essentials for Modern Application Development》這本書中介紹reduce方法(P140)看到的，覺得這種遞推方法很漂亮。下面進(jìn)行推導(dǎo)：
$$\begin{gathered} m[n]=\sum _1^n(\frac{x[i]}{n}) \\ =\frac{{\sum }_1^{n?1}x[i]+x[n]}{n} \\ =\frac{{\sum }_1^{n?1}x[i]}{n?1}?\frac{n?1}{n}+\frac{x[n]}{n} \\ =m[n?1]?\frac{n?1}{n}+\frac{x[n]}{n} \\ =\frac{n?m[n?1]?m[n?1]+x[n]}{n} \\ =m[n?1]+\frac{x[n]?m[n?1]}{n} \end{gathered}$$
方差的計(jì)算有點(diǎn)區(qū)別，先計(jì)算其二階矩。
$$\begin{gathered} M2[n]=\sum _1^n(x[i]?m[n]{)}^2 \\ =\sum _1^n(x[i]?m[n?1]?\frac{x[n]?m[n?1]}{n}{)}^2 \\ =\sum _1^n(x[i]?m[n?1]{)}^2+\frac{(x[n]?m[n?1]{)}^2}{n}?2?\frac{x[n]?m[n?1]}{n}?\sum _1^{n}x[i]?m[n?1] \\ =M2[n?1]+(x[n]?m[n?1]{)}^2+\frac{(x[n]?m[n?1]{)}^2}{n}?2?\frac{(x[n]?m[n?1]{)}^2}{n} \\ =M2[n?1]+(x[n]?m[n?1]{)}^2?\frac{(x[n]?m[n?1]{)}^2}{n} \\ =M2[n?1]+(x[n]?m[n?1])?(x[n]?m[n?1]?m[n]+m[n?1]) \\ =M2[n?1]+(x[n]?m[n?1])?(x[n]?m[n]) \end{gathered}$$

m[n]和M2[n]計(jì)算都有一個(gè)$x[n]?m[n?1]$項(xiàng)，M2[n]還有一項(xiàng)很相似的$x[n]?m[n]$，并且都是累加的形式。雖然計(jì)算v[n]還需要先計(jì)算M2[n]，似乎還是多了一個(gè)臨時(shí)數(shù)組。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的对序列连续计算平均数和方差的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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