文章目錄

• kalman濾波的解釋
• • 背景
  • • 信號(hào)經(jīng)過(guò)線性變換后的分布
    • 信號(hào)的相乘
    • • 一維信號(hào)
      • 多維信號(hào)
    • 貝葉斯估計(jì)
  • 狀態(tài)方程
  • 先驗(yàn)分布
  • 后驗(yàn)分布
  • 總結(jié)

kalman濾波的解釋

背景

這里的信號(hào)都是指服從正態(tài)分布的信號(hào)

信號(hào)經(jīng)過(guò)線性變換后的分布

信號(hào)經(jīng)過(guò)線性變換后$y=F?x+b$，

均值：${\mu }_y=F?{\mu }_x+b$

方差：${\Sigma }_y=F?{\Sigma }_x?F^T$(這里與一維信號(hào)，經(jīng)過(guò)線性變換有點(diǎn)區(qū)別)

${\Sigma }_x,{\Sigma }_y$都是協(xié)方差矩陣

信號(hào)的相乘

一維信號(hào)

兩個(gè)信號(hào)服從正態(tài)分布：$N({\mu }_0,{\sigma }_0^2),N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$

兩個(gè)信號(hào)乘積也服從正態(tài)分布$N({\mu }_p,{\sigma }_p)$
$$\begin{gathered} k=\frac{{\sigma }_0^2}{{\sigma }_0^2+{\sigma }_1^2} \\ {\mu }_p={\mu }_0+k({\mu }_0?{\mu }_1) \\ {\sigma }_p^2={\sigma }_0^2?k?{\sigma }_0^2 \end{gathered}$$

多維信號(hào)

兩個(gè)多維隨機(jī)信號(hào)相乘

$N({\mu }_0,{\Sigma }_0)?N({\mu }_1,{\Sigma }_1)=z_p?N({\mu }_p,{\Sigma }_p)$
$$\begin{gathered} K={\Sigma }_0?({\Sigma }_0+{\Sigma }_1{)}^{?1} \\ {\mu }_p={\mu }_0+K({\mu }_1?{\mu }_0) \\ {\Sigma }_p={\Sigma }_0?K?{\Sigma }_0 \end{gathered}$$

貝葉斯估計(jì)

根據(jù)條件概率定義
$$\begin{gathered} P(x|\theta )?P(\theta )=P(\theta |x)?P(x) \\ P(x|\theta )=\frac{P(\theta |x)?P(x)}{P(\theta )} \end{gathered}$$
這里$P(x)$就是先驗(yàn)概率，$P(\theta |x)$為似然概率，$P(x|\theta )$為后驗(yàn)概率

狀態(tài)方程

$$\begin{gathered} x(n+1)=F?x(n)+G?u(n) \\ z(n)=H?x(n) \end{gathered}$$

在實(shí)際過(guò)程中，狀態(tài)含有未知量服從分布正態(tài)分布，方差（協(xié)方差矩陣）為$Q(n)$，測(cè)量也有未知量服從正態(tài)分布，方差為R。

先驗(yàn)分布

$$\begin{gathered} x_{(}n+1)=F?x(n)+G?u(n) \\ {P}_{(}n+1)=F?P(n)?F^T+Q(n) \end{gathered}$$

其實(shí)$x(n+1),P(n+1)$并不是真實(shí)的值，而只是先驗(yàn)值，重新對(duì)其進(jìn)行命名
$$\begin{gathered} x_B=x(n+1) \\ {P}_B=P(n+1) \end{gathered}$$
$P_B$為先驗(yàn)估計(jì)的誤差

后驗(yàn)分布

將先驗(yàn)估計(jì)的狀態(tài)x轉(zhuǎn)換到測(cè)量空間中，則其服從$N(H?x_B,H?P_B?H^T)$

測(cè)量服從$N(z,R)$

后驗(yàn)分布為$N({\mu }_p,{\Sigma }_p)$
$$\begin{gathered} {\mu }_p=H?x_B+K(z?H?x_B) \\ {\Sigma }_p=H?P_B?H^T?K?H?P_B?H^T \\ K=H?P_B?H^T?(H?P_B?H^T+R{)}^{?1} \end{gathered}$$
上面的后驗(yàn)分布為在測(cè)量空間的結(jié)果。

假設(shè)在狀態(tài)空間的后驗(yàn)分布為$N(x_A,P_A)$，將該結(jié)果轉(zhuǎn)換到測(cè)量空間中為$N(H?x_A,H?P_A?H^T)$，兩者相等
$$\begin{gathered} H?x_A=H?x_B+K(z?H?x_B) \\ H?P_A?H^T=H?P_B?H^T?K?H?P_B?H^T \end{gathered}$$
令
$$K=H?K_G$$
則
$$K_G=P_B?H^T?(H?P_B?H^T+R{)}^{?1}$$
上面兩個(gè)等式可以變?yōu)?br /> $$\begin{gathered} H?x_A=H?x_B+H?K_G(z?H?x_B)=H?(x_B+K_G(z?H?x_B)) \\ H?P_A?H^T=H?P_B?H^T?H?K_G?H?P_B?H=H(P_B?K_G?H?P_B)?H^T \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_A=x_B+K_G?(z?H?x_B) \\ {P}_A=P_B?K_G?H?P_B \end{gathered}$$

總結(jié)

把以上的計(jì)算先驗(yàn)估計(jì)，后驗(yàn)估計(jì)的過(guò)程結(jié)合起來(lái)，就是kalman濾波中的時(shí)間更新方程和狀態(tài)更新方程

時(shí)間更新方程
$$\begin{gathered} x_B=F?x(n)+G?u(n) \\ {P}_B=F?P(n)?F^T+Q(n) \end{gathered}$$
狀態(tài)更新方程
$$\begin{gathered} K_G=P_B?H^T?(H?P_B?H^T+R{)}^{?1} \\ {x}_A=x_B+K_G?(z?H?x_B) \\ {P}_A=P_B?K_G?H?P_B \end{gathered}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的kalman滤波的解释的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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