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第二章 隨機變量及其概率分布

1、隨機變量

定義：設隨機試驗的樣本空間為S={e},X=X{e}是定義在樣本空間S上的實值單值函數.稱X=X{e}為隨機變量

常用$\xi ,\eta ,\zeta$希臘字母或X，Y，Z表示
有離散型和連續型
若隨機變量只可能取有限個或無限個值時，稱之為 離散型隨機變量
若隨機變量取一個區間內所有實數時，稱之為 連續型隨機變量
隨機變量取值由隨機試驗的結果確定

隨機變量X取某個值x的事件用記號{X=x}表示，其概率即P{X=x}
一般，若L是實數集，將隨機變量x在L上的取值事件記為{x$\in$L}
其概率記為P{x$\in$L}
P{x$\in$L}=P{e|X(e)$\in$L}

2、離散型隨機變量及其分布律

若隨機變量只可能取有限個或可數(可列)無限個值時，則稱之為離散型隨機變量

離散型隨機變量X的所有可能取的值為$x_k(k=1,2,...)$,X取各個可能值的概率，即事件{X=$x_k$}的概率，為
P{X=$x_k$}=$p_k$,k=1,2,…
由概率的定義，$p_k$滿足如下兩個條件：
1.非負性，$p_k$$\ge$ 0，k=1,2,…
2.規范性，${\sum }_{k=1}^{\infty }{p}_k=1$，所有概率相加為1

以下是三個重要的離散型隨機變量
(一)0-1分布
定義:設隨機變量X只可能取0和1兩個值，它的分布律是
P{X=k}=$P^k(1?P{)}^{1?k},k=0,1(0<P<1)$
則稱X服從以P為參數的(0-1)分布或兩點分布

(二)伯努利試驗、二項分布
設試驗E只有兩種可能結果：A和$\overline{A}$,則稱E為伯努利試驗，設P(A)=p(1<p<1),
此時P($\overline{A}$)=1-p,將E獨立重復的進行n次，則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗
P{X=k}=$C_n^k{p}^k(1?p{)}^{n?k},k=0,1,2,3...$
則稱隨機變量X服從參數為n,p的二項分布，并記為X~B(n,p)
Q
(三)泊松分布
設隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,…而取各個值的概率為
P{X=k}=$\frac{{\lambda }^k{e}^{?\lambda }}{k!},k=0,1,2,3...$
其中$\lambda$>0是常數，則稱X服從參數為$\lambda$的泊松分布，記為X~P($\lambda$)

泊松定理：設$\lambda$>0是一個常數，n是任意正整數，設$n{p}_n=\lambda$,則對于任一固定的非負整數k，有
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k{p}_n^k(1?p_n{)}^{n?k}=\frac{{\lambda }^k{e}^{?\lambda }}{k!}$$
也就是說以n,p為參數的二項分布的概率值可以由參數為$\lambda =np$的泊松分布的概率值近似

3、隨機變量的分布函數

定義:設X是一個隨機變量，x是任意實數，函數
F(x)=P{X$\le$x},-$\infty$<x<$\infty$
稱為X的分布函數
對于任意實數$x_1$,$x_2$($x_1$<$x_2$),有
P{$x_1$<X$\le$$x_2$}=P{X$\le$$x_2$}-P{X$\le$$x_1$}=F($x_2$)-F($x_1$)

分布函數F(x)有以下的基本性質：
1、F(x)是一個不減函數
2、0$\le$F(x)$\le$ 1,且
$$F(?\infty )=\underset{x\to ?\infty }{\lim }F(x)=0$$

$$F(\infty )=\underset{x\to \infty }{\lim }F(x)=1$$

4、連續隨機變量及其概率密度

如果對于隨機變量X的分布函數F(x),存在非負函數f(x),使對于任意實數x有
$$F(x)={\int }_{?\infty }^{x}f(t)dt$$
則稱X為連續型隨機變量，其中函數f(x)稱為X的概率密度函數，簡稱概率密度
概率密度f(x)具有以下性質：
1、f(x)$\ge$ 0
2、${\int }_{?\infty }^{\infty }f(x)dx=1$
3、對于任意實數$x_1$,$x_2$($x_1$$\le$$x_2$),
P{$x_1$<X$\le$ $x_2$}=F($x_2$)-F($x_1$)=${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$
4、若f(x)在點x處連續，則有F$\prime$(x)=f(x)

對于連續型隨機變量X來說，它取任意指定實數值a的概率均為0，即P{X=a}=0

（一）均勻分布

定義：若連續型隨機變量X具有概率密度
$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b?a},x\in (a,b)\\ 0,其他\end{array}$$
則稱X在區間(a,b)上服從均勻分布，記為X~U(a,b)
易知f(x)$\ge$ 0 ,且${\int }_{?\infty }^{\infty }f(x)dx=1$

性質：均勻分布具有等可能性
即對任一長度$l$的子區間(c,c+$l$),a$\le$c<c+$l$$\le$b,有
P{c<X$\le$c+$l$}=${\int }_c^{c+l}f(x)dx={\int }_c^{c+l}\frac{1}{b?a}dx=\frac{l}{b?a}$
即，服從U(a,b)上的均勻分布的隨機變量X落入(a,b)中的任意子區間上的概率只與其區間長度有關，與區間位置無關
即，X落入(a,b)中的等長度的任意子區間上是等可能的
X的分布函數為
F(x)=$?\begin{array}{l}0,x<a\\ \frac{x?a}{b?a},a\le x<b\\ 1,x\ge b\end{array}$

(二)指數分布

若連續型堆積變量X的概率密度為
$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\theta }{e}^{?x/\theta },x>0\\ 0，其他\end{array}$
其中$\theta$>0為常數，則稱X服從參數為$\theta$的指數分布，記為X~E($\lambda$)
易知f(x)$\ge$ 0 ,且${\int }_{?\infty }^{\infty }f(x)dx=1$
分布函數為
F(x)=$\{\begin{array}{l}1?e^{?x/\theta },x>0\\ 0，其他\end{array}$

性質：指數分布具有無記憶性
對于s,t>0,有
P(X>s+t|X>s)=P{X>t}

(三)正態分布

性質：
1.f(x)關于x=$\mu$對稱
2.當x$\le$$\mu$時，f(x)是嚴格單調遞增函數
3.f(max)=f($\mu$)=$\frac{1}{2\sqrt{\pi }\sigma }$
4.$\underset{|x?\mu |\to \infty }{\lim }f(x)=0$

$\mu$為位置參數
$\sigma$為尺度參數，$\sigma$越小，圖形越高越瘦，$\sigma$越大，圖形越矮越胖

標準正態分布
當$\mu$=0，$\sigma$=1時
概率密度用$\phi$(x)表示，分布函數用$?$(x)表示

5、隨機變量的函數的分布

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计(二)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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