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编程问答

概率论与数理统计(三)

發布時間：2025/4/16 编程问答 20 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了概率论与数理统计(三) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

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第三章多維隨機變量及其分布

二維隨機變量

定義：設(X,Y)是二維變量，對于任意實數x，y，二元函數：
F(x,y)=P{(X $≤\leq$ x) $?\bigcap$ (Y $≤\leq$ y)==P{X $≤\leq$ x,Y $≤\leq$ y}}
稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數，或稱為隨機變量X和Y的聯合分布函數

1.F(x,y)是變量x和y的不減函數，即對于任意固定的y，當 $x_2$ > $x_1$ 時
F(x,y) $≥\geq$ F( $x_1$ ,y),對于固定的x，當 $y_2$ > $y_1$ 時F(x, $y_2$ ) $≥\geq$ F(x, $y_1$ )
2.0 $≤\leq$ F(x,y) $≥\geq$ 1,且
對于任意固定的y，F( $?∞-\infty$ ,y)=0
對于任意固定的x，F(x, $?∞-\infty$ )=0
F( $?∞-\infty$ , $?∞-\infty$ )=0,F( $∞\infty$ , $∞\infty$ )=1

如果二維隨機變量(X,Y)全部可能取到的值是有限對或可列無限多對，則稱(X,Y)是離散型的隨機變量
設二維離散型隨機變量(X,Y)所有可能取的值為( $x_i$ , $y_j$ ),i,j=1,2.記P{X= $x_i$ ,Y= $y_j$ }= $P_{ij},i,j=1,2,3....$ 則由概率的定義有
1. $Pij≥0P_{ij}\geq0$
2. $∑i=1∞∑j=1∞Pij=1\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}P_{ij}=1$
3.F(x,y)= $∑xi≤x∑yi≤yPij\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_i\leq y}P_{ij}$

如果存在非負的函數f(x,y)使對于任意x，y有
F(x,y)= $∫?∞y∫?∞xf(u,v)dudv\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(u,v)dudv$
則稱(X,Y)是連續的二維隨機變量，函數f(x,y)稱為二維隨機變量(X,Y)的概率密度，或稱為隨機變量X和Y的聯合概率密度
概率密度f(x,y)有以下性質：
1.f(x,y) $≥\geq$ 0
2. $∫?∞∞∫?∞∞f(x,y)dxdy=F(∞,∞)=1\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=F(\infty,\infty)=1$
3.設G是xOy平面上的區域，點(X,Y)落在G內的概率為
P{(X,y) $∈\in$ G}= $∫∫Gf(x,y)dxdy\int\int_{G}f(x,y)dxdy$
4.若f(x,y)在點(x,y)上連續，則有
$?2F(x,y)?x?y=f(x,y)\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$

邊緣分布

條件分布

相互獨立的隨機變量

兩個隨機變量的函數的分布

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计(三)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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