电磁场考前总结
第一章公式整理
第二章公式整理(并沒有整理多少)
概念
標量：一個只用大小描述的物理量。
矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量。
矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示 。
場：確定空間區域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區域上定義了一個場。
等值面：標量場取得同一數值的點在空間形成的曲面。
如果兩個不為零的矢量的點積等于零，則此兩個矢量必然相互 正交 。
標量場的梯度是一標量 場，表示某一點處標量場的 變化率。
方向導數表示場沿某方向的空間變化率
梯度描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向
電荷 是產生電場的源， 電流 是產生磁場的源。
電荷守恒定律:電荷既不能被創造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉移到另一部分，或者從一個物體轉移到另一個物體。
電介質的分子分為 無極 分子和 有極 分子。
在電場作用下，介質中無極分子的束縛電荷發生位移，有極分子的固有電偶極矩的取向趨
于電場方向，這種現象稱為電介質的 極化
無極分子的極化稱為 位移 極化，有極分子的極化稱為 取向 極化
判斷
- 單位矢量是常矢量。(錯)
矢量的模和方向都不隨空間坐標變化而變化的矢量為常矢量。單位矢量是指模等于1的向量。
- 標量場的等值面可以相交。(錯)
同一個點不可能有兩個物理量
- 矢量叉乘滿足交換律(錯)
- 矢量點乘滿足結合律(錯)
如我們所知，點乘是投影，
所以不滿足結合律
- 靜電場是無旋場，故電場強度沿任一條閉合路徑的積分為零(對)
重要公式定理
幾個重要計算
1.e?A=A∣A∣\vec{e}_A=\frac{A}{|A|}eA?=∣A∣A?
2.∣A??B?∣|\vec{A}-\vec{B}|∣A?B∣注意是模
3.A??B?\vec{A}\cdot\vec{B}A?B點乘后是個值(標量)
4.cosθAB=A??B?∣A?∣∣B?∣cos\theta_{AB}=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}cosθAB?=∣A∣∣B∣A?B?,θAB=cos?1A??B?∣A?∣∣B?∣\theta_{AB}=cos^{-1}\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}θAB?=cos?1∣A∣∣B∣A?B?
5.A在B上的分量
AB=∣A?∣cosθAB=A??B?∣B?∣A_B=|\vec{A}|cos\theta_{AB}=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{B}|}AB?=∣A∣cosθAB?=∣B∣A?B?
6.叉積
叉積計算公式
注意:中間一個值做矩陣時要帶符號
- 距離矢量：用末點減初點得到的矢量
- 點乘即投影，如求某矢量在x上的分量，就將該矢量點乘e?x\vec{e}_xex?即可
- 求某矢量與x，y，z的夾角，用
將A替換成某矢量，B替換成e?x\vec{e}_xex?，e?y\vec{e}_yey?，e?z\vec{e}_zez?即可
補充公式:
第一第二都是分配律
第三是轉換
第四個可以記憶成先將B單獨拿出來，中間量B為正，其余兩個任意組合
- 坐標系轉換
三個坐標系的轉換畫個圖就知道了
直角(x,y,z)
圓柱(ρ,?,z\rho,\phi,zρ,?,z)
球(r,θ,?r,\theta,\phir,θ,?)
圓柱和球里的?\phi?是一樣的，都是xy平面的偏角，θ\thetaθ是俯仰角
`
- 方向余弦
即矢量與x，y，z的夾角
- 梯度是最大變化率方向
梯度求解公式，哈密頓算子和標量函數結合
求某一方向的方向導數，先算出標量場的梯度，然后點乘該方向單位矢量，即在該方向上的投影。
- 散度的物理意義是單位閉合面內通過的矢量
求解方式就是點乘
- 旋度的物理意義是旋渦源密度矢量
求解方式:叉積
- 求解過程中會涉及到坐標的轉換(重要！)
幾個重要公式，散度定理，斯托克斯定理，格林公式要看一下，不過估計考不到
真是課堂造航母，考試擰螺絲
第二章
幾個重要定理
庫侖（Coulomb）定律(1785年)
真空中靜止點電荷 q1 對 q2 的作用力:
F?12=e?Rq1q24πε0R122=q1q2R?124πε0R123\vec{F}_{12}=\vec{e}_R\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0R^2_{12}}=\frac{q_1q_2\vec{R}_{12}}{4\pi\varepsilon_0R^3_{12}}F12?=eR?4πε0?R122?q1?q2??=4πε0?R123?q1?q2?R12??
靜電場的散度（微分形式）：
??E?(r?)=ρ(r?)ε0\nabla\cdot \vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\varepsilon_0}??E(r)=ε0?ρ(r)?(推導見書P43)
靜電場的高斯定理(積分形式)：
∮SE?(r?)?dS?=1ε0∫Vρ(r?)dV\oint_S \vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(\vec{r})dV∮S?E(r)?dS=ε0?1?∫V?ρ(r)dV
高斯定理表明：靜電場是有源場，電場線起始于正電荷，終止于負電荷。
靜電場的旋度（微分形式）：
?×E?(r?)=0\nabla\times \vec{E}(\vec{r})=0?×E(r)=0
靜電場的環路定理(積分形式)：
∫cE?(r?)?dl?=0\int_{c}\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=0∫c?E(r)?dl=0
環路定理表明:靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功和路徑無關
實驗表明，真空中的載流回路C1對 載流回路C2的作用力
F?12=μ04π∫C2∫C1I2dl?2×(I1dl?1×R?12)R123\vec{F}_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_2}\int_{C_1}\frac{I_2d\vec{l}_2\times(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}F12?=4πμ0??∫C2??∫C1??R123?I2?dl2?×(I1?dl1?×R12?)?
恒定場的散度(微分形式)：
??B?(r?)=0\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r})=0??B(r)=0
磁通連續性原理(積分形式):
∫SB?(r?)?dS?=0\int_S\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=0∫S?B(r)?dS=0
磁通連續性原理表明：恒定磁場是無源場，磁場線是無起點和終點的閉合曲線
恒定磁場的旋度(微分形式):
?×B?(r?)=μ0J?(r?)\nabla\times\vec{B}(\vec{r})=\mu_0\vec{J}(\vec{r})?×B(r)=μ0?J(r)
安培環路定理(積分形式):
∮CB?(r?)?dl?=μ0∫SJ?(r?)?dS?=μ0I\oint_{C}\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=\mu_0\int_{S}\vec{J}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\mu_0I∮C?B(r)?dl=μ0?∫S?J(r)?dS=μ0?I
安培環路定理表明:恒定磁場是有旋場，是非保守場，電流是磁場的漩渦源
電流連續性方程
積分形式:∮SJ??dS=?dqdt=?ddt∫VρdV\oint_S \vec{J}\cdot dS=-\frac{dq}{dt}=-\fracozvdkddzhkzd{dt}\int_V\rho dV∮S?J?dS=?dtdq?=?dtd?∫V?ρdV
(流出閉合面S的電流等于體積V內單位時間所減少的電荷量)
微分形式:??J?=??ρ?t\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}??J=??t?ρ?
極化強度矢量P?=xeε0E?\vec{P}=x_e\varepsilon_0\vec{E}P=xe?ε0?E
任意閉合曲面電位移矢量 D 的通量等于該曲面包含自由電荷的代數和
??D?=ρ\nabla \cdot \vec{D}=\rho??D=ρ
其積分形式為∮SD??dS?=∫VρdV\oint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\int_V\rho dV∮S?D?dS=∫V?ρdV
總結
