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模糊数学笔记：六、模糊模型识别-I（最大隶属度原则）

發布時間：2025/4/16 编程问答 41 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了模糊数学笔记：六、模糊模型识别-I（最大隶属度原则）小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

1、模型識別的問題提出

模型識別，通俗地理解即是對一個類別未知的對象進行歸類（或者叫分類）。這里與聚類不同的是，聚類實際上是要區分出已有的樣本哪些屬于同一類，但并沒有參考標準。而識別則事先有參考的標準，在此前提下對模型進行識別。

簡單抽象描述這一問題即是，現有對象 $x$ ，它有多種屬性，此時有標準模型 $I, I I, I I I, . . .$ ，如何通過一系列的方法來判斷對象 $x$ 究竟屬于哪一種類型。比如醫生通過病人的癥狀進行診斷（判斷其屬于哪種疾病），農業中對作物進行分級等，都屬于模型識別問題。

2、預備知識

模糊向量：所有元素均在 $[0, 1]$ 上取值的向量可稱為模糊向量。如：

$a=(a1,a2,…,an),0?ai?1(i=1,2,?,n)\boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}),\quad 0\leqslant a_{i} \leqslant 1 \quad(i=1,2, \cdots, n)$

模糊向量可以用于表示一個模糊集 $A$ ：
$ai=A(xi)(i=1,2,?,n)a_{i}=A\left(x_{i}\right) \quad(i=1,2, \cdots, n)$
其中 $A(xi)A\left(x_{i}\right)$ 表示該模糊集的隸屬度函數。

模糊向量的內積：

$a°b=?i=1n(ai∧bi)\boldsymbol{a} \circ \boldsymbol{b}=\bigvee _{i=1}^{n}\left(a_{i} \wedge b_{i}\right)$

模糊向量的外積：

$a⊙b=?i=1n(ai∨bi)\boldsymbol{a}\odot \boldsymbol{b}=\bigwedge_{i=1}^{n}\left(a_{i} \vee b_{i}\right)$

3、最大隸屬度原則

最大隸屬原則 I ：設論域 $U$ 上有 $m$ 個模糊子集 $A1,A2,?,AmA_{1}, A_{2}, \cdots,A_m$ (即 $m$ 個模型),構成一個標準模型庫,若對任一 $x0∈U,x_{0} \in U,$ 有 $i0∈{1,2,?,m}i_{0} \in\{1,2, \cdots, m\}$ , 使得
$Ai0(x0)=?k=1mA1(x0)A_{i_{0}}\left(x_{0}\right)=\bigvee_{k=1}^{m} A_{1}\left(x_{0}\right)$
則認為 $x_0$ 相對隸屬于 $A_{i_{0}}$ .

這里需要稍作解釋。上述內容里面 $A1,A2,?,AmA_{1}, A_{2}, \cdots,A_m$ 即是 $m$ 個標準模型，而 $x_0$ 是待識別的對象。上面公式的意思通俗的解釋即是：它相對哪一個模型的隸屬度最大，那么它就屬于哪個模型。

例：考慮年輕、中年、老年的三類標準模型 $A_1,A_2,A_3$ 分別定義如下：

$A1(x)={10<x?201?2(x?2020)220<x?302(x?4020)230<x?40040<x?100A2(x)={00<x?202(x?2020)220<x?301?2(x?4020)230<x?40140<x?501?2(x?5020)250<x?602(x?7020)260<x?70070<x?100A3(x)={00<x?502(x?5020)250<x?601?2(x?7020)260<x?70170<x?100A_{1}(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & 0<x \leqslant 20 \\ 1-2\left(\frac{x-20}{20}\right)^{2} & 20<x \leqslant 30 \\ 2\left(\frac{x-40}{20}\right)^{2} & 30<x \leqslant 40 \\ 0 & 40<x \leqslant 100 \end{matrix} \right. \\ A_{2}(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0 & 0<x \leqslant 20 \\ 2\left(\frac{x-20}{20}\right)^{2} & 20<x \leqslant 30 \\ 1-2\left(\frac{x-40}{20}\right)^{2} & 30<x \leqslant 40 \\ 1 & 40<x \leqslant 50 \\ 1 - 2\left(\frac{x-50}{20}\right)^{2} & 50<x \leqslant 60 \\ 2\left(\frac{x-70}{20}\right)^{2} & 60<x \leqslant 70 \\ 0 & 70<x \leqslant 100 \end{array}\right. \\ A_{3}(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & 0<x \leqslant 50 \\ 2\left(\frac{x-50}{20}\right)^{2} & 50<x \leqslant 60 \\ 1-2\left(\frac{x-70}{20}\right)^{2} & 60<x \leqslant 70 \\ 1 & 70<x \leqslant 100 \end{matrix}\right.$

那么考慮 $x = 40$ ： $A_{1}(40)=0, A_{2}(40)=1, A_{3}(40)=0$ ，此時應屬于中年人

再考慮 $x = 35$ : $A_{1}(35)=0.125, A_{2}(35)=0.875, A_{3}(35)=0$ ，按照這一標準，35歲也應該算作中年人。

4、小結

由上述描述可見，模糊模型識別的操作過程實際上是比較簡單的。但這里也很容易看出一個問題，在上例中我們是直接給出了隸屬度函數，然而這種做法顯然并不是最好的。因為可以看到35歲也被歸為了中年人之列。那么容易看到不同隸屬度函數對應的是不同的選擇標準，因此合理的隸屬度函數是合理的識別方法的前提。

關于隸屬度函數的選取，前文中已經講過，可以參考：https://blog.csdn.net/cauchy7203/article/details/107365236

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模糊数学笔记：六、模糊模型识别-I（最大隶属度原则）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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