每件事物都有其應需而生的目的，既然存在了，一定有其出現的因和果。二項堆的存在，就是因為二叉堆在Union操作上性能不如意而被發明的。二項堆的Union操作只需O(lgn)時間就可以完成兩個二項堆的合并（總共n個元素）。

二叉堆是完全二元樹（二叉樹）或者是近似完全二元樹（二叉樹）。二叉堆有兩種：最大堆和最小堆。最大堆：父結點的鍵值總是大于或等于任何一個子節點的鍵值；最小堆：父結點的鍵值總是小于或等于任何一個子節點的鍵值。

那么二項堆的定義呢？二項堆是由一組二項樹組成，所以先看二項樹定義。

二項樹B_k是一種遞歸定義的有序樹。二項樹B₀只包含一個節點。二項樹B_k由兩顆樹B_k-1連接而成：其中一顆樹的根式另一個樹的根的最左孩子。二項樹B_k具有以下性質：

1）共有2^k個節點

2）樹的高度為k

3）在深度i處恰有個節點，其中i=0,1,…,k

4）根的度數為k，大于任何其他結點的度數，并且如果根的子女從左到右編號為k-1,k-2,…,1,0，子女i是子樹的B_i根。

二項堆H是由一組二項樹組成，并滿足以下性質：

1）H中的每個二項樹都遵循最小堆性質：結點的關鍵字大于或等于其父節點的關鍵字；

2）對任意非負整數k，在H中至多有一棵二項樹的根具有度數k。

這兩點總結來說，關系到二項堆中二項樹的兩點，一是結點度數，另一個是節點關鍵字值。首先關鍵字值要有序，父結點要小于子結點，其次，二項堆中二項樹的根結點度數要互異（不能有兩棵二項樹的根的度數是一樣）。這是在二項堆操作中一定要守恒的。二項堆中結點的域有：指向父節點的指針p[x]、指向最左孩子的指針child[x]、指向緊右兄弟的指針sibling[x]、結點度數degree[x]、關鍵字值key[x]。

二項堆操作，如創建、查找最小關鍵字、刪除關鍵字等都要維持其性質，其中合并兩個二項堆需要重點說明其算法和性能。

Fun_Binominal_heap_Union(H1,H2){

??? Make_Binominal_Heap(H);//建一個新堆

??? head[H]=Binominal_Heap_Merge(H1,H2);//合并成一個按度數遞增次序排列的鏈表，堆的根按照度數遞增作為新堆的根

??? if head[H]=null then return H;

??? prev[x]=null;

??? x=head[H];

??? next[x]=sibling[x];//第一棵樹根作為第一個結點

??? while next[x] is not null

??????? do if (degree[x] ≠degree[next[x]]

or(sibling[next[x]] is not null and degree[x]=dgree[sibling[next[x]]]

thenprev[x]=x?

???? x=next[x]

??????????? else if key[x] =< key[next[x]]

???????????????? thensibling[x]=sibling[next[x]]

????????????????????? Binoial_link(next[x],x);

??????????? else if prev[x]=null

??????????????? then head[H]=next[x]

??????????????? else sibling[prev[x]]=next[x]

??????????????? ?????Binoial_link(x,next[x]);

???????????????????? x=next[x];

??????????? next[x]=sibling[x];

??????? return H;

}

函數內，主要是對合并后結點做處理，以確保滿足二項堆和二項樹性質，可以看到主要對結點的比較就是度數和關鍵字值。看下兩個度數相同的二項樹B_k-1合并成一顆樹B_k的函數。

Fun_ Binoial_link(x,y){

??? p[y]=x; //x作為y的父結點

??? sibling[y]=child[x];//x的孩子成為y的兄弟

??? child[x]=y;

??? degree[x]=degree[x]+1；

}

Binominal_heap_Union函數運行時間是O(lgn)，其中n是二項堆H1(n1)和H2(n2)中總的結點數。H1至多包含lgn1+1個根，H2至多包含lgn2+1個根，合并后H至多包含2lgn+2，即O(lgn)個根。而執行函數的時間主要是在根結點循環，所以總共至多執行lgn2+2次迭代。

比較有趣的一個操作是當關鍵字值減少時調整二項堆使其保持性質，也是需要O(lgn)運行時間，要去判斷關鍵字值。那么能否先刪除關鍵字再作為新的關鍵字插入呢？新關鍵字插入導論中沒有給出，但我想可以作為堆合并來處理，因為一個結點就是一顆二項樹或二項堆，所以時間也是O(lgn)，但刪除關鍵字的時間也需要O(lgn)，總共需要O(2lgn)次，所以還是直接在原來結點調整值，然后保持二項堆性質。

雖然理解了定義和基本操作，但二項堆還沒想到具體應用點。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法导论之二项堆的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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