函數(shù)的相關(guān)知識作為每年各省市中考的熱門考點(diǎn)問題，主要考察學(xué)生能否結(jié)合具體實(shí)際情境了解函數(shù)的相關(guān)的意義，能否正確畫出相關(guān)函數(shù)的圖象并理解相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

其中反比例函數(shù)的考查形式主要是聯(lián)系一次函數(shù)、二次函數(shù)以及方程不等式進(jìn)行綜合考察，而反比例函數(shù)的幾何意義也需要引起足夠的重視

本文主要講解反比例函數(shù)的概念、圖象性質(zhì)等知識，其他未涉及內(nèi)容在動態(tài)教輔中都做了詳細(xì)描述，也請大家下載關(guān)注~接下來包sir小課堂就要開課嘍，希望對大家有所幫助

知識點(diǎn)1 反比例函數(shù)圖象的畫法

1.描點(diǎn)法畫 圖象的一般步驟

(1)列表：反比例函數(shù)自變量的取值范圍是所有

(2)描點(diǎn)：以自變量x的取值為

(3)連線：按從左到右的順序用平滑的曲線連接各點(diǎn)，雙曲線的兩個(gè)分支是

劃重點(diǎn)

畫反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)

①反比例函數(shù)中自變量x≠0，則y≠0，反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)分支都無限地接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到x軸和y軸，所以圖象與x軸、y軸沒有交點(diǎn).

②畫實(shí)際問題中的反比例函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)注意自變量的取值范圍，它可能是單支，也可能是雙曲線的一部分.

2.

對于同一個(gè)非零實(shí)數(shù)x， 與 的函數(shù)值互為相反數(shù)，因此函數(shù)與(k為常數(shù)，k≠0)的圖象關(guān)于x軸對稱.

3. 反比例函數(shù)的圖象

反比例函數(shù) 圖象是由兩支分別位于兩個(gè)象限內(nèi)的兩條曲線組成的，這兩支曲線稱為雙曲線.例如：

拓展

雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的圖形， 對稱中心是原點(diǎn)，它也是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和y=－x.

示范例題

(單選題)[2020廣東珠海香洲區(qū)期末]函數(shù) 的圖象大致是(　　)

A.A

B.B

C.C

D.D

【答案】B

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象的畫法，描點(diǎn)畫圖可知應(yīng)選B.

知識點(diǎn)2 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1. 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)列表如下：

反比例函數(shù)的增減性

(1)反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性是由比例系數(shù)k的符號決定的，反過來，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以判斷k的符號情況.

(2)反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況.

2. 反比例函數(shù)的函數(shù)值的比較

要比較反比例函數(shù)的函數(shù)值的大小，要特別注意判斷所給自變量的值是否是圖象同一個(gè)分支上的點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(1)若給出的自變量的值是同一個(gè)分支上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，要根據(jù)反比例函數(shù)中y隨x的增減變化來確定；反之亦然.

(2)若不在同一分支上，要根據(jù)y的正負(fù)來比較大小

示范例題

例題1.(單選題)[2020遼寧沈陽沈河區(qū)月考]在反比例函數(shù) 圖象的每一支曲線上，y都隨x的增大而減小，則k的取值范圍是( )

【答案】D

【解析】根據(jù)題意得 ， 解得．故選D．

知識點(diǎn)3 反比例函數(shù)中k的幾何意義

1. 過圖象任一點(diǎn)作坐標(biāo)軸垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積

如圖所示，過雙曲線 上的任意一點(diǎn)P(x,y)作x軸 y軸

的垂線PM，PN.

2. 過圖象任一點(diǎn)作某一坐標(biāo)軸垂線并連結(jié)該點(diǎn)與原點(diǎn)，圍成的三角形面積

劃重點(diǎn)

(1) 可以看作是矩形的面積，并且只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點(diǎn)的位置如何變化，這一點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的垂線和兩坐標(biāo)軸圍成的面積始終是不變的．

(2)已知反比例函數(shù)可求矩形面積，反之，已知矩形面積可求反比例函數(shù)，此時(shí)如果沒有指明反比例函數(shù)圖象的位置，k的值往往存在兩種情況.

示范例題

例題1.(單選題)如圖，在 的圖象上有三個(gè)點(diǎn)A，B，P，過這三個(gè)點(diǎn)分別向x軸引垂線，交x軸于C，D，E三點(diǎn)，連接OA，OB，OP，設(shè)ΔOAC，ΔOBD，ΔOPE的面積分別為S1，S2，S3，則有( )

A.S1=S2=S3

B.S1＜S2＜S3

C.S1＞S2＞S3

D.S2＞S1＞S3

要點(diǎn)1 函數(shù)圖象共存問題

解決函數(shù)圖象共存問題有兩種思路：

(1)根據(jù)函數(shù)表達(dá)式分析圖象

比如對于反比例函數(shù)與一次函數(shù)，可以先假設(shè)反比例函數(shù)中的比例系數(shù)為正(負(fù))，判斷對應(yīng)的一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，再對照選項(xiàng)進(jìn)行確認(rèn)或者排除.

(2)根據(jù)選項(xiàng)分析函數(shù)表達(dá)式中有關(guān)系數(shù)

判斷函數(shù)圖象是否共存時(shí)，先利用其中一個(gè)函數(shù)圖象確定待定字母的取值范圍，然后利用函數(shù)圖象的分布特征進(jìn)行判斷.

示范例題

例題1.(單選題)[2020河北邯鄲復(fù)興區(qū)二模] 若 ，則正比例函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是(　　)

A.A

B.B

C.C

D.D

要點(diǎn)2 反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題

1.反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)

設(shè)反比例函數(shù)y＝(k1≠0)，正比例函數(shù)y＝k2x(k2≠0)，則

(1)當(dāng)k1k2>0時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的交點(diǎn)；

(2)當(dāng)k1k2<0，兩函數(shù)圖象有0個(gè)交點(diǎn).

函數(shù)y＝和y＝k2x圖象可能的情況如下圖.

2. 反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)

設(shè)反比例函數(shù)為

3. 根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象解不等式

示范例題

例題1.(單選題)[2020廣東廣州中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練(一)]如圖，正比例函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，則不等式的解集為(　　)

聲明：以上內(nèi)容摘自包學(xué)習(xí)APP_動態(tài)教輔《全息解讀 數(shù)學(xué)丨九年級下》，歡迎來包學(xué)習(xí)和更多小伙伴一起學(xué)習(xí)更多知識吧。

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總結(jié)

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