我本身不是學通信專業的,相近專業+刻苦最終能夠讓我理解通信理論方面的一些知識,對此我堅信不移.看了一些天的書,總結一下,現代通信中,傅里葉變換是很重要的組成部分.現代的通訊基本都是數字通信,這里面就要對數字信號處理有很多的了解,而在學信號處理之前,是要學習信號與系統的,看了書后才知道這件事情的,所以非專業的人學習的路往往是彎曲前行的,但這個彎曲的過程卻會給人對知識的更深刻的了解.

????尤其是隨著通訊技術的發展,更多的數學被運用到通訊中,這種數學知識的運用使得本來需要用復雜的硬件來實現的功能最終被軟件輕松化解,這樣帶來的好處就是在產品的設計中硬件的比例會變小,成本也就自然會降低.4G時代的通訊協議中大量的運用了通訊數學方面的計算,而FFT在4G通訊中變得越來越重要,如果對FFT不了解或者不理解的話,想從事4G相關產品的研究與開發會變得很艱難.

????在學校傅里葉變換的時候,多種傅里葉變換讓我經常把他們弄混,搞得我暈頭轉向.向一位學通信的同事詢問一些知識,后來發現,哥們總是不往點上說,也就是說那些最關鍵,最容易混淆的東西,他都不愿意說出來.但這并不能阻礙我,因為我是不怕這種情況的,我就是在這種環境下成長起來的,只要我想學的東西,我從來沒被難倒過,克服了太多的困難讓我對自己很有信心.后來總結了一通才發現,其實那東西只要知道了要領,最終會繞過很多彎路的.

????在通訊中,我們的傅里葉變換時間上是一種在時域上的周期離散信號到頻域上的周期離散信號之間的變換,這樣才是數字通信,如果變換中有連續的模擬量,那也就不是數字通信了.因此,在學習的使用一定要注意到這一點.有了這個方向,你就該知道應該記住什么,應該學習哪種傅里葉變換了.
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學了東西幾天不看就要忘記,前幾天看的,現在又開始變得模糊了,看來學的東西還是要經常復習才是.??前一篇講我們在數字通訊中用來進行計算的傅里葉變換一般是指時域和頻域上都是周期性的離散信號來講的.這里我們要明確一下周期信號,非周期信號,連續信號,離散信號到底是什么樣的信號,明確這一點對理解DFT比較有好處.

???首先,我們先知道一個慣例,在通訊中,時域上的變量一般使用小寫字母來表示,而頻域上的變量一般使用大寫字母來表示.

????連續信號,應該不用再說明了吧,也就是說時域上的連續信號是指幅度在時域上隨時間連續變化的信號,用x(t)的形式來表達,同理頻域上的連續信號就是指幅度在頻域上隨頻率連續變化的信號,一般用類似X(jw)之類的形式來表達.而非連續信號不言而喻就是指有間斷的信號,不連續的信號,離散的信號,在數字通信中一般指類似脈沖之類的信號.

????接下來就是周期信號和非周期信號. 連續的周期信號是很好理解的啦,例如正弦波,鋸齒波等等.但對于離散的信號,就要注意一下啦.離散信號的情況下,周期信號一般指等間隔的脈沖.而單個的脈沖或者沒有周期性的脈沖都屬于非周期信號.

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????我們在學習信號與系統的時候,針對傅里葉變換,書中會講各種情況下的變化,讓人很糊涂,記憶也很難記憶,搞一搞就暈頭轉向了.知道了上面幾種信號后,我們就可以很容易記憶各種情況下的傅里葉變換了.下次再繼續講給大家.

前面講了傅里葉變換中的幾種信號類型,理解這些類型對于我們理解傅里葉變換很重要.那么,每種類型其變換雖然道理可以互通,但實際的方法或者說公式都不是一樣的,

????大家要注意另外一件事情,傅里葉正變換是只時域-->頻域的變換,而傅里葉反變換是指頻域-->時域的變換.這個方向大家一定不要弄混了.

????1.連續的非周期的時間信號的傅里葉變換和反變換:

? ? ? ?從上面的變換中我們可以看出,對于非周期的連續時間信號的傅里葉變換,其頻域也是非周期的連續的頻率函數.

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????2.連續的周期的時間信號的傅里葉變換和反變換:

從這對公式中我們可以看出,時間上是連續的,但頻域上是離散的量.正變換就是我們所說的傅里葉級數.

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????3.離散的非周期的時間信號的傅里葉變換和反變換:

?從正變換的公式中可以看出,時間上離散非周期的信號,在頻域上是周期的連續的信號.當然,在公式中我們并不能明顯的看出頻域上的周期性.但實際情況是這樣的.

????4.離散的周期的時間信號的傅里葉變換和反變換:

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我們可以看出,時間上離散的周期信號,在頻域上也是離散和周期的信號.這種情況就是我們通訊中用來進行運算的DFT.

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????其實,傅里葉變換也就這四種情況,那么從這四種情況中我們可以概括出他們的規律,即:

????????非周期<--->連續

??????????周期<--->離散

????這個規律對于時域和頻域上的信號是對稱的.打個比方說吧,如果時域上是非周期的,則頻域上的信號肯定是連續的,如果時域上的信號時周期的,則頻域上的信號肯定是離散的.反之亦然.

傅里葉變換在不同信號形式下有不同的變換方法,前一篇我講了幾種信號形式的傅里葉變換和它們之間的關系.反正我不太關心前三種形式的傅里葉變換.數字信號處理其實主要就是處理最后一種形式,即在時域和頻域上都是離散的周期信號的傅里葉變換,通訊中用于運算也是通過這種形式的傅里葉變換進行的.讓我們在復習一下:

前面的一個公式是把時域信號轉換為頻域上的信號,就是我們常說的離散信號的傅里葉變換,即DFT,后面的一個公式就是把頻域信號轉換為時域上的信號,就是我們常說的離散信號的反傅里葉變換,即IDFT.

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????在通訊過程中,我們的很多實際信號大多是模擬信號,例如音樂,歌聲.模擬信號要在計算機中進行處理就必須先轉換為計算機可以使用的數字信號.拿聲音來說吧,聲音的頻率從幾十HZ到20KHZ,我們要把模擬信號變成數字信號就要先對模擬信號進行采樣.根據采樣定理,要想在采樣后能夠復原以前的模擬信號,采樣率必須大于信號最高頻率的2倍.現在的聲卡一般采用44KHZ的采樣率,44KHZ>20KHZ*2,其實就是這個意思.

????模擬信號經過采樣之后形成了一串數,在計算機中就使用數組來存儲,也就是上面公式中的x(n),n就是n個采樣點.那么經過轉換后,X(k)則是用來存儲不同頻率點上的幅值.k相當于頻域上的采樣次數.

????我們拿DFT公式來說明一下,X(k)用來存儲變換后的不同頻率上的幅值.頻率點k可以從0開始一直取下去,但每個頻率點的間隔即頻率的分辨率Ferr則是由采樣率SRate和時域上所取的采樣點數N來決定的,即有下列的關系:

????Ferr=SRate/N

????舉例來講,如果采樣率是44KHZ,即1秒鐘采樣了44K個采樣點,在實際應用中,假如我們只取了其中的連續的22K個采樣點進行分析,那么這時N==22000,那么X(k)存儲的分別是的頻率為0HZ,2HZ,4HZ,8HZ.....點上的幅值,也就是說,這是X(k)的頻率的分辨率為44KHZ/22K=2HZ.

接著上一講的講述,我們可以通過DFT和IDFT的公式,把時域上的采樣的數據轉換成頻域上的數據,也可以把頻域上的數據轉換成時域上的數據.

????但是,當我們計算的時候我們就會發現這樣一個問題.當采樣點太多,也就是說當N特別大的時候,那么要進行編號,其計算每一個另一個域上的點,其計算量都是非常大的.這樣我們就需要一種快速的算法來進行變換,也就是我們說的快速傅里葉變換和快速傅里葉反變換FFT和IFFT.

????我們把前面講述的公式(1):

公式(1),可以通過歐拉公式進行展開:

那么公式(1)就可以表示成三角函數的形式,我們不必去考究其運算過程,最終我們會得到一個結論,要進行變換,進行DFT的運算,其加法和乘法的次數都近似與N的平方成正比,但N比較大的時候,例如N=1024是,需要100多萬次的復數乘法運算,這樣的計算讓計算機的計算會變得很慢,這是我們在處理變換時所不希望的.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅立叶变换深入讲解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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