【BZOJ1010】【HNOI2008】玩具裝箱

題面

題目描述

P教授要去看奧運(yùn)，但是他舍不下他的玩具，于是他決定把所有的玩具運(yùn)到北京。他使用自己的壓縮器進(jìn)行壓縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。P教授有編號(hào)為1...N的N件玩具，第i件玩具經(jīng)過(guò)壓縮后變成一維長(zhǎng)度為Ci.為了方便整理，P教授要求在一個(gè)一維容器中的玩具編號(hào)是連續(xù)的。同時(shí)如果一個(gè)一維容器中有多個(gè)玩具，那么兩件玩具之間要加入一個(gè)單位長(zhǎng)度的填充物，形式地說(shuō)如果將第i件玩具到第j個(gè)玩具放到一個(gè)容器中，那么容器的長(zhǎng)度將為 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的費(fèi)用與容器的長(zhǎng)度有關(guān)，根據(jù)教授研究，如果容器長(zhǎng)度為x,其制作費(fèi)用為(X-L)^2.其中L是一個(gè)常量。P教授不關(guān)心容器的數(shù)目，他可以制作出任意長(zhǎng)度的容器，甚至超過(guò)L。但他希望費(fèi)用最小.

輸入格式：

第一行輸入兩個(gè)整數(shù)N，L.接下來(lái)N行輸入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

輸出格式：

輸出最小費(fèi)用

輸入樣例#1：

5 4
3
4
2
1
4

輸出樣例#1：

1

題解

如果公式看不清到CSDN上看把。。。
CSDN的鏈接
首先我們很容易想到DP
設(shè)f[i]表示當(dāng)前選擇到了第i個(gè)玩具，且第i個(gè)作為一個(gè)容器結(jié)束的位置的最小代價(jià)
然后很容易的想到了O(n^2)的DP

for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=0;j<i;++j)f[i]=min(f[i],f[j]+sqr(c[i]-c[j]+i-j-1-L));

其中，c為前綴和,sqr為平方

但是，這樣做的復(fù)雜度太高，顯然不能夠AC
那么，我們不妨設(shè)f[i]從j轉(zhuǎn)移過(guò)來(lái)，并且還有一個(gè)狀態(tài)k
那么就有：
\[f[j]+(c[i]-c[j]+i-j-1-L)^{2}<f[k]+(c[i]-c[k]+i-k-1-L)^{2}\]
\[不妨令M=c[i]+i-1-L,T[j]=c[j]+j\]
\[原式可以簡(jiǎn)寫(xiě)為f[j]+(M-T[j])^{2}<f[k]+(M-T[k])^{2}\]
\[左邊=f[j]+M^{2}+T[j]^{2}-2MT[j]\]
\[右側(cè)同理=f[k]+M^{2}+T[k]^{2}-2MT[k]\]
\[化簡(jiǎn)不等式得：\frac{(f[j]+T[j]^2)-(f[k]+T[k]^2)}{2(T[j]-T[k])}>M\]
f[i],T[j]和M很顯然是單調(diào)的
所以很顯然的可以用到了斜率優(yōu)化啦

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<set> #include<map> #include<vector> using namespace std; #define MAX 50100 inline int read() {int x=0,t=1;char ch=getchar();while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return x*t; } int n,L,c[MAX]; int s[MAX],h,t; long long f[MAX],q[MAX],T[MAX]; long long sqr(long long x){return x*x;} long long count(int x,int y) {return ((f[x]+sqr(q[x]))-(f[y]+sqr(q[y])))/(2*(q[x]-q[y])); } int main() {n=read();L=read();for(int i=1;i<=n;++i)c[i]=read()+c[i-1];for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=1e18;/*for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=0;j<i;++j)f[i]=min(f[i],f[j]+sqr(c[i]-c[j]+i-j-1-L));*///以上內(nèi)容為O(n^2)的暴力轉(zhuǎn)移for(int i=1;i<=n;++i)q[i]=c[i]+i;for(int i=1;i<=n;++i)T[i]=c[i]+i-L-1;for(int i=1;i<=n;++i){while(h<t&&count(s[h],s[h+1])<=T[i])h++;int get=s[h];f[i]=f[get]+sqr(T[i]-q[get]);while(h<t&&count(s[t-1],s[t])>=count(s[t],i))t--;s[++t]=i;}printf("%lld\n",f[n]);return 0; }

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/7707175.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【BZOJ1010】【HNOI2008】玩具装箱（斜率优化，动态规划）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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