第二道綠題

這次大概真正懂了

看題面：

先了解一下公式?ax≡1(modb)

≡為恒等

這個公式翻譯過來就是一個不定方程

ax+by=1

如果了解擴展歐幾里得就知道這是一道exgcd的模版題//gg說的emmm

那我們先來了解一下gcd和擴展gcd吧（畢竟我本人當初也不會

gcd：

?又稱為輾轉相除法

因為是求最大公約數，很好理解，就不再贅述了，上代碼：

int gcd(a,b){if (b==0)return a;elsereturn gcd(b,a%b);//輾轉相除 }

exgcd：

基本思路：對于不全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by

證明：

顯然，b=0時，gcd(a,b)=a,x=1,y=0

當ab!=0時

根據gcd可知：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

我們可以設x,x',y,y' //這里我們把a,b想成未知數，x,y想成常數，雖然較于正常方程來說有點別扭，但是適應一下就很好理解了

這樣：ax+by=gcd(a,b)

bx'+(a%b)y'=gcd(b,a%b)

可得ax+by=bx'+(a%b)y'

我們知道a%b=a-(a/b)*b //這里的式子都是編程里用到的

則ax+by=bx'+ay'-(a/b)*by'

ax+by=ay'+b(x'-(a/b)y')

這樣就可以發現取等的條件了：x=y'&&y=x'-(a/b)y'

如此，求x',y',我們可以設x'',y''

x'=y''&&y'=x''-(a/b)y''

如此一直推下去，我們可以用遞歸來解決

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {if(b==0){x=1;y=0;return a;}int r=exgcd(b,a%b,x,y);int t=x;x=y;y=t-a/b*y;return r;}

這里的b總會推成0，遞歸就結束了

我們現在已經了解了exgcd

現在再看這道題ax+by=1，求x的最小整數解

方程?ax+by=1有解的必要條件是 1%gcd(a,b)=0

那么相應的a,b互質

我們只需要求出ax+by=gcd(a,b)中x的最小整數解就可以了

顯然，這就是一道exgcd的板子題 //然而您需要推出來上面的式子才能發現(｡ì _ í｡)

等等 可是題目要求的是x為正整數

我們用exgcd求出的x不一定是最小正整數

所以我們要將x+或-b直到x恰好大于0

然后您就切了這道題了！（tql！

#include<cstdio> #include<iostream> typedef long long ll;//為了避免數太大而開了long long，事實證明其實不需要…… using namespace std; ll x,y; void exgcd(ll a,ll b) {if(b==0) {x=1;y=0;return ;}exgcd(b,a%b);ll k=x;x=y;y=k-a/b*y; }//exgcd int main() {ll a,b;scanf("%lld%lld",&a,&b);exgcd(a,b);while(x<0)x+=b;x%=b;//使x為最小整數解printf("%lld",x);return 0; }

//本苣蒻第二篇題解祭

//真正理解的第一道綠題祭

//謝謝洛谷題解orz

轉載于:https://www.cnblogs.com/sevenyuanluo/p/9971860.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的luoguP1082同余方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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