對于一個多元函數\(f(x_1,x_2,x_3,..,x_n)\)，如果它必須滿足某一些限制\(g_i(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=0\)，我們可以使用拉格朗日乘數法來求它的最值

首先你需要知道什么是偏導數，等高線和梯度向量（鑒于我自己也不知道這些是什么所以大家稍微yy一下就好了）

有一個結論是\(f\)取到最值的時候，它的等高線和所有的\(g_i\)的等高線相切→_→所以它的梯度向量\(\nabla f\)和所有的梯度向量\(\nabla g_i\)平行

梯度向量的每一維就是這個函數對應那一維的偏導數

\[{\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\frac{\partial f}{\partial x_3}······,\frac{\partial f}{\partial x_n})}\]

設\(\nabla f=\lambda \nabla g_i\)，我們可以列出好多個方程

\[{\frac{\partial f}{\partial x_1}=\lambda \frac{\partial g_i}{\partial x_1}}\]

\[{\frac{\partial f}{\partial x_2}=\lambda \frac{\partial g_i}{\partial x_2}}\]

\[{\frac{\partial f}{\partial x_3}=\lambda \frac{\partial g_i}{\partial x_3}}\]

\[......\]

\[{\frac{\partial f}{\partial x_n}=\lambda \frac{\partial g_i}{\partial x_n}}\]

最后還有

\[g(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=0\]

把\(\lambda\)解出來就可以了。一般來說題目中\(\lambda\)都是滿足可二分性的

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的拉格朗日乘数法学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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